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第二节特殊矩阵方阵乘积的行列式 线性代数 一 特殊矩阵及其运算性质 1 单位矩阵 形如 的n阶方阵称为n阶单位矩阵 记为En 简记为E 该方阵的特点是主对角线上的元素都是1 其他元素都是0 其第i行第j列的元素为 易证 单位矩阵在矩阵乘法运算中的作用与数1在数的乘法运算中的作用类似 规定 2 数量矩阵 形如 的n阶方阵称为n阶数量矩阵 记作 显然 这说明n阶数量矩阵与任一n阶方阵A相乘可交换 3 对角矩阵 形如 的n阶方阵称为n阶对角矩阵 记作 显然对角矩阵有如下性质 即对角矩阵具有如下性质 其中为正整数 例1设 其中为正整数 解 而 因数量矩阵与可交换 所以利用二项式定理得 4 三角矩阵 上三角矩阵的特点是主对角线下方的元素全为0 下三角矩阵的特点是主对角线上方的元素全为0 表示主对角线上方的元素 若A B为同阶同结构的三角矩阵 则仍为同阶同结构的三角矩阵 可以验证 定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵 叫做的转置矩阵 记作 如 5 转置矩阵 转置矩阵的运算性质 例2已知 解法1 解法2 定义 设为阶方阵 如果满足 即那么称为对称矩阵 6 对称矩阵和反对称矩阵 对称矩阵 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 说明 对角矩阵 数量矩阵 单位矩阵都是对称矩阵 对称矩阵的基本性质 A B为同阶矩阵 1 如果 都是对称矩阵 则仍是对称矩阵 其中为任意常数 2 如果 都是对称矩阵 则为对称矩阵的充要条件是 如果 都是对称矩阵 则为对称矩阵的充要条件是 例3设是一个矩阵 则和都是对称矩阵 例4设列矩阵满足 证明 如果即则称为反对称矩阵 定义 反对称矩阵 反对称矩阵的主对角线上的元素全为零 以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等 符号相反 证明 但AB未必是反对称矩阵 如 反对称矩阵的基本性质 A B为同阶矩阵 例5设是阶反对称矩阵 是阶对称矩阵 则是阶反对称矩阵 例6证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和 证明 所以C为对称矩阵 所以B为反对称矩阵 命题得证 二 方阵的行列式 定义由阶方阵的元素所构成的行列式 叫做方阵的行列式 记作或 运算性质 4 设为阶方阵 则 1 方阵的行列式 例7若是阶方阵 且满足 则 证明 因为 所以 即 定义 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵 性质 称为矩阵的伴随矩阵 当时 三 伴随矩阵 证明 1 则 故 同理可得 2 由 1 可知 特殊矩阵 方阵 行矩阵与列矩阵 单位矩阵 对角
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