经典数学题.doc

一、初等拉灯问题-倍数、约数例1： 走廊里有10盏电灯，从1到10编号，开始时电灯全部关闭。有10个学生依次通过走廊，第1个学生把所有的灯绳都拉了一下，第2个学生把2的倍数号的灯绳都拉了一下，第3个学生把3的倍数号的灯绳都拉了一下第10个学生把第10号灯的灯绳拉了一下。假定每拉动一次灯绳，该灯的亮与不亮就改变一次。试判定：当这10个学生通过走廊后，走廊里有多少盏灯是亮的?A.2 B.3 C.4 D.5分析：(1)原来电灯全部关闭，拉一下，亮着;拉两下，灭了;拉三下，亮着。因此，灯绳被拉动奇数次的灯亮着。(2)可从最简单的情况考虑，把拉过某号的学生号码写出来寻找规律，如1号是第1个学生拉过，4是1,2，4号拉过，6是1,2，3,4号学生拉过，10是1,2，5,10号学生拉过，也就是第i号灯的灯绳被拉的次数就是i的所有约数的个数。由自然数因数分解的性质知，只有当i是平方数时，i的约数的个数才是奇数，所以只有1，4，9号灯亮着。本题答案：1，4，9号灯亮着，共有3盏灯。选B。例2：一间实验室里有100盏灯，分别编号为1、2、3、100号，它们起初都是关着的。现在有学号为1、2、3、100号的学生分别走进这间实验室。1号学生把所有的灯的开关都拉了一次;2号学生把偶数号的灯的开关又都拉了一次;3号学生把倍数是3的号数的灯的开关都拉了一次;4号学生把倍数是4的号数的灯的开关都拉了一次;当这100个学生全部走进了实验室之后，最后亮着的灯有多少盏?( )A.4 B.6 C.8 D.10分析：(1) 原来电灯全部关闭，拉一下，亮着;拉两下，灭了;拉三下，亮着。因此，灯绳被拉动奇数次的灯亮着。(2) 思路同例1，所有的平方数的灯亮着。1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，10盏灯亮着。选D。例3：现在有1000盏灯，全亮，每个灯都由1个拉线开关控制。然后拉开关，规则：先拉一下1的倍数的开关。(也就是说每个灯都得拉一下)，然后拉2的倍数的开关最后拉1000的倍数的开关，问最后有几盏灯是亮的?( )A.21 B.31 C.969 D.979分析：(1)原来电灯全亮着，拉一下，灭了;拉两下，亮着;拉三下，灭了。因此，灯绳被拉动奇数次的灯灭了。此题先求灭着的灯的数量，再求亮着的灯。(2)思路同例1，被拉过奇数次的是约数为奇数个的灯，也就是灯号为平方数的灯，1000以内：最小有1的平方，最大有31的平方。灭掉的灯有31盏，因此亮着灯有1000-31=969盏。(3)注意：看清本题要求，不能选31，正确答案选C。二、拉登难题三集合容斥原理型例4： 有1000盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着。现按其顺序编号为1、2、3、4、51000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的电灯有多少盏?( )A.468 B.499 C.501 D.532分析：(1) 原来电灯亮着，拉一下，灭了;拉两下，亮着;拉三下，灭了。因此，灯绳被拉动奇数次的灯灭了。此题先求灭着的灯的数量，再求亮着的灯。(2) 注意：此题目拉灯的方法不同前三个例题。编号为2的倍数，3的倍数，5的倍数的灯一次都拉。可以据此，看做是三集和问题。(3) 三个圆圈分别代表：上圆-编号为2的倍数的灯，有500盏;左圆-编号为3的倍数的灯，有333盏灯，右圆-编号为5的倍数的灯，有200盏。其灯的亮或灭情况见图，(4) 数据计算：即能被2又能被3整除的有1000/6=166个;同理，能被2,5整除的有200个，能被3,5整除的有66个，能同时被2.3.5整除的有33个。请学员把每部分的数据填到上图中，图中四部分灭的灯有：上圆：500-166-100+33=267;左圆：333-166-66+33=134;右圆：200-100-66+33=67;中心灭：33，四部分灭着的灯共有：267+134+67+33=501，所有亮着灯有1000-501=499.选B。(5) 注意看清题目，501为易错选项。拉灯问题，题目本身看起来操作繁琐，但是其中蕴含的数学道理不难，熟练掌握此类型题目的解决思路，熟能生巧。主谓拆分，拆分的是主项和谓项，其实这种方法就是三段论的逆向思考。而什么样的题型适合应用这种方法呢？首先要了解三段论的四种标准形式：所有A是B+所有B是C 所有A是C所有A是B+所有B不是C 所有A不是C有些A是B+所有B是C 有些A是C有些A是B+所有B不是C 有些A不是C其实三段论的题型无外乎这两种：一种是通过前提求结论的结论型；一种是通过其中一个前提和结论求另一个前提是谁的前提。如果题干只给一个前提和一个结论，我们通常会用三段论的推理规则解题，但如果题干给了两个前提和一个结论，通过这些已知条件再求前提，这样难度就加大了。正常情况下是两个前提、一个结论，就基本形式而言，不会出现三个前提一个结论，也就是有一个前提对于解题的帮助不大，如何来判定是哪个前提呢，就需要应用主谓拆分法。拆分的是结论，把结论的一句直言命题沿着主项和谓项的方向拆成两句直言命题，这两句话是分别含有结论的主项和谓项，通过这两句话确定中间缺少的中项B是谁，从而确定答案。比如我们来拆分四种标准形式的第一句话。结论是所有A是C,拆成两句话分别含有主项A和谓项C,即拆成两个部分：一个是所有A,一个是C,中间加上“是B”、“所有B”即可。这两句拆分后的命题，一句应该是已知条件，一句是应填选项。所有的主谓拆分法要补充的都是“是B、所有B”,把拆分后的每一句话和已知条件对应，就可以确定哪个已知条件是无用的条件，从而确定B.1、 四者容斥例：有100件衬衫，其中白色和黑色的各50%,大号有25%,小号占75%,白色大号的有10件，请问黑色小号的有几件？分析：这是一道四者容斥的题目，用表格法解决。依据比例将白色、黑色衬衣的件数和大小号衬衣的件数写在表格最右列和最下行。大号白色10件，标在大号一列和白色一行的交叉格中。则大号黑色有25-10=15件，小号黑色有50-15=35件。总结：四者容斥的题目一般都是描述某一事务在两个不同方面的四个不同属性。利用表格可以快速解题。2、 容斥全极值N者容斥问N者重合部分的最值即为容斥全极值问题。考试很少考最大值，一般都是问N者重合部分最小的时候，直接利用结论做：N者极值=N个大集合的和减去（N-1）个全集。例：某班有100人，其中语文好的有80人，数学好的有78人，英语好的有82人，请问三个科目都好的至少有几人？分析：此题属于三者全极值的问题，带入公式：80+78+82-1002=40.即三个科目都好的人至少40人。3、 三者容斥二者最多三者容斥求其中二者重复部分最多，直接三个大集合之和除以2,求整数部分。例：某班有100人，其中语文好的有40人，数学好的有32人，英语好的有48人，请问其中只有两科好的至多有几人？分析：三者容斥求二者最多，可以直接计算：（40+32+48）2=60人。一、考情分析抽屉问题在公务员考试虽不多见，但是它的难度一直比较大，其中的极值思想也能够帮助其他部分解题，因此仍然需要大家记住它的解法。二、抽屉原理概述抽屉原理，又叫狄利克雷原理，它是一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决各种有趣的问题，并且常常能够得到令人惊奇的结果。许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，利用它能很容易得到解决。那么，什么是抽屉原理呢？我们先从一个最简单的例子谈起。将三个苹果放到两只抽屉里，想一想，可能会有什么样的结果呢？要么在一只抽屉里放两个苹果，而另一只抽屉里放一个苹果；要么一只抽屉里放有三个苹果，而另一只抽屉里不放。这两种情况可用一句话概括：一定有一只抽屉里放入了两个或两个以上的苹果。虽然哪只抽屉里放入至少两个苹果我们无法断定，但这是无关紧要的，重要的是有这样一只抽屉放入了两个或两个以上的苹果。如果我们将上面问题做一下变动，例如不是将三个苹果放入两只抽屉里，而是将八个苹果放到七只抽屉里，我们不难发现，这八个苹果无论以怎样的方式放入抽屉，仍然一定会有一只抽屉里至少有两个苹果。在公务员考试数学运算中，考查抽屉原理问题时，题干通常有“至少，才能保证”这样的字眼。我们下面讲述一下抽屉原理的两个重要结论：抽屉原理1将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于2。（也可以理解为至少有2件物品在同一个抽屉）抽屉原理2将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。（也可以理解为至少有m+1件物品在同一个抽屉）三、直接利用抽屉原理解题（一）利用抽屉原理1例题1：有20位运动员参加长跑，他们的参赛号码分别是1、2、3、20，至少要从中选出多少个参赛号码，才能保证至少有两个号码的差是13的倍数？A.12 B.15 C.14 D.13【答案详解】若想使两个号码的差是13，考虑将满足这个条件的两个数放在一组，这样的号码分别是1、14、2、15、3、16、4、17、5、18、6、19、7、20，共7组。还剩下号码8、9、10、11、12、13，共6个。考虑最差的情况，先取出这6个号码，再从前7组中的每一组取1个号码，这样再任意取出1个号码就能保证至少有两个号码的差是13的倍数，共取出了6+7+1=14个号码。（二）利用抽屉原理2例题2：一个口袋中有50个编上号码的相同的小球，其中编号为1、2、3、4、5的各有10个。一次至少要取出多少小球，才能保证其中至少有4个号码相同的小球？A.20个 B.25个 C.16个 D.30个【答案详解】将1、2、3、4、5五种号码看成5个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有4件物品，根据抽屉原理2，至少要取出53+1=16个小球，才能保证其中至少有4个号码相同的小球。四、利用最差原则最差原则说的就是在抽屉问题中，考查最差的情况来求得答案。因为抽屉原理问题所求多为极端情况，故可以从最差的情况考虑。从各类公务员考试真题来看，“考虑最差情况”这一方法的使用广泛而且有效。例题3：从一副完整的扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能保证至少6张牌的花色相同？A.21 B.22 C.23 D.24【答案详解】一副完整的扑克牌包括大王、小王；红桃、方块、黑桃、梅花各13张，分别是A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K。要求6张牌的花色相同，考虑最差情况，即红桃、方块、黑桃、梅花各抽出5张，再加上大王、小王，此时共取出了452=22张，此时若再取一张，则一定有一种花色的牌有6张。即至少取出23张牌，才能保证至少6张牌的花色相同。例题4：一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些小球，其中红的10个，白的9个，黄的8个，蓝的2个。一次至少取多少个球，才能保证有4个相同颜色的球？A.12 B.13 C.14 D.15【答案详解】从最坏的情况考虑，红、白、黄三种颜色的球各取了3个，蓝色的球取了2个，这时共取球33+2=11个，若再取1个球，那么不管取到何种颜色的球，都能保证有4个相同颜色的球，故至少要取12个。五、与排列组合问题结合例题5：某区要从10位候选人中投票选举人大代表，现规定每位选举人必须从这10位中任选两位投票，问至少要有多少位选举人参加投票，才能保证有不少于10位选举人投了相同两位候选人的票？A.382 B.406 C.451 D.516【答案详解】从10位候选人中选2人共有=45种不同的选法，每种