微分算子法在数学分析中的应用.pdf

第卷第期 年名月 新翻石 油学 院学报 胡即 而 盛雌 习 微分算子法在数学分析中的应用 周子香阿地里 基础部 摘要 本文给出了徽分 算子 西狱 算子 止一 二 等的 一组运葬 公 式及 其 在解线性徽分方很 求不定积分势 分析运算 中的应用 这种 算 子解法与 一般徽科书 使用的传统 解 法相比 更虽出其 简搜的 特点 主短词 徽分方程积分 活数 数 学分析 引 言 所谓算子 乃表示有确定意义的一组运算 用算子来解决问题的方法 叫算 子解法本文讨论的是如何用微分算子及其函数算子 来求解线性微分方程 求 不定积分等解析问题 微分算子法在解线性微分方程中 的应用 首先引进 定义 二 粤 二 其 中叫微分算子 表示对函数进行求导运算 矛 尹 户 人 了矛 了 几 类似地定义 二 是 的次多项式 关于及 有下列基本公式 玩 二 犷一 二龙 二 对 吸丰 二 己山 几一 卜 一 当 二 时 有 二 引 一 二 卜 对于上述算子 还 可定义如下运算 并满足一些运算津 加法 卜 丈 卜 十 乘法 一 二 门 交换律 卜 二 卜全 与结合律 一 二 仁 门 十 二 全 门 分配律 卜士 门 二 花 卜 线性 礴 牛质 于 卜 二 全 全 一 收决三架 年 月 三 析租石 常 由学 院 学才及 二冉 盯面再引进 定义 算 兴 对函数 作用的结果 是方程 二 的解 即 二 才于 泳 也可以定义加法 乘法 也满足如上所列 公式 并具 仃类似 二面的运 算律 例如 二一点 二二 一尸 云 牛一 及有 一 气户 命 一 击 击一 卜 游石 一 幸 时 有 喊 典一 二 上了 口 飞 一 少 一 夕 一 羊 时 当 二 时 有 有 共二一 二 十 井一 甲 卫 龟 二 一 口自 一 又 二 一 早一 二 二 一 景犷 二 一 一 一 二一 二 叹 一 叹一 一 一 十 一 十 备 二 命 二 一 一 日 利用函数算子蔫可以十分简捷地求解非齐次线性微分方程 它是求其关键点特 气少 解的有效方法 为了俞 田的需 骤 再姗关 算子命的一些公式 可由定义及 有关定理容易得出及其应用实例 从中更可见到使用算子法解题的简捷性 例 求 二 的特解 解由 及公式得 一卫一一 二二 一一住 一李一 二 典 一 剑 求 第卷第期周子香阿地里微分算子法在数学分析中的应用 仰由公式有 一 漏 二卜二未 二 二 例 二 求 二 邢 二二二 二一 十 一二斗一 旦 万 于一芬 洛 例 求 二 的特解 解 布击而 一卜葫卜 二卜活 浩 一 污 亏 一 卜 扮一卡 例 一 二 二 求特解 解由公式有 艺而两万 一 二 一 币犷 艺 一 不 万 了芍 例 求 铭了 盯 二一 的特解 解由公式有 一 七 二 二 卜 一 标 一 一 分 一 二百 匕 一 户 二 一 一 二毅 一 蕊一 例了 组合例 求 二 的特解 解刊用例 知 例 的妙承 俱 二 一 二 啥 一口 尹汤 日矛 丁获一石 一万 二 一七 一 丁 一蕊少二 例 求 一 二 的特解 解由公式有 一早一 吸 一 万 荟 一 二 钾厂 丁六六 目 二气胜 例 求 解 一 二 的特解 由公式有 一 一 一一 一 二 一百 翁两 二 一 一 了厂 例 一 一魂 二一 求 解由公式有 圣 新珊石油 耸 院 学报年 二 二 宁 瓦 一洁蔺丽一 二 一 三二 二又 一 一 一一厂 百一 若 二 二 一 但 共 广 缸 二 例求 叹 一 二 解 一 的特解 二 二 由公式有 二 笼 百 一 万 一 一 二 二 一 一 甘 一 八 八 一十一 乙 二 例一求 一 二 的特解 解由公式有 刃而万 甘圣 二 傲一 二 了 笼 例 一 求 二 求 解由公式有 二 于拜百 尹 二 例 们应用例求阻尼强迫振动方程 共 二 的特解 解 二 洽二 分作两种情形 宁 幸 一 二 有 二 一挂 一 由公式有 通几 二二牛户甲兮牛尸一 十 二一万万 积分算子务在计算不定积分中 的应用 作为命的重要特例十 即 二 丁 苹卷 策期周户雷阿地 皿徽分其子 决 在傲学分析中的应用 它时于简捷地计算一些不定积分有普特殊的功效 例 丁 二 浩 一 二 舟 二 一 十 一 十 一 卞 由此得 万 二 一 一 一 类似可得 丁 夕下 一 一 一 丁 入 一 入 二 资 入 巴几 一 一 入 入 十 例 求 了 一二 解由公式 引有 一 二二二 一 一 一 二 一 十 一一 例 丁 一 些盆兰粤 一 艺 由公式 二二 二二 一 产 一 一万 一 毛 例 了 丁 号 全 丝尘 丁 一 二一 一 二 一 止 二 例 丁 一 二 奈 二 宁 一 一 二一 龙 一拼 一 甘 扩 微分算子法在数学分析中的其 它应用举例 由于计算不定积分 广义 积分及拉普拉斯变换等均以计算不定积分为基础 所 以对于这些 积分的计算有时用微分算子法来解十分简捷 例 求 二 二 的拉普拉斯变换 解 二 卞父 一 由公式 尸 一 一 十 的 十 切 析石 抽学 院 学报 习 年 曰曰目口口 一一 侧 气 板 公 二 丁 一 一 了 由例 一 一 一 曰曰曰 曰 应用分算子的前面几个公式 可以迅速地求出一些函数的高阶导数 例 二写求 解 二 二二二二 二 二 二 一言 口 一 一 侧 二一 求 解 二 一七二一 一 二一 一 一 一 例 二 求 解 二 二 二 一般由 二 二 龙沉 二二 虹竺旦 得 二 二二 经鉴竺 十 一 叹 月 二 求 解在公式 中 令得 二 二 参考文献 德 瓦尔特著 邹应译 含微分方程导论北京高等教育出版社 周尚仁编常