《汽车行驶问题》PPT课件.ppt

汽车行驶问题 问题一 曲率限制的停车问题 一辆汽车静止于A处 要开到与车身垂直的B处 不能倒车 沿着什么路径行驶路程最短 A B 背景知识从A点行驶到B点必须转弯 由于车身有一定长度 转弯不能转得太小 即路径的曲率K不能太大或者曲率半径r不能太小 可以以火车转弯的轨道来想象 问题二 汽车绕行 r x3 y3 汽车从A地出发 到河边取水送往B地 两地之间有一个不能穿越的圆形建筑群 见图 汽车如何行走 才能使得路程最短 o 已知A B即建筑群中心的坐标都已知 如图所示 建筑群个半径r也已知 建筑群周围就是汽车道路 问题三 停车问题1 p s A L M B C D Q R 如图所示 有三个半径为a的圆 其中两个圆的圆心相距2b 4asin 其中 0 2 第三个圆与这两个圆相切 做圆A B的另一侧公切线CD 若汽车的最小转弯半径为a 不能倒车 讨论如下问题 1 车停于P处 车头朝上 要行驶到S处 什么路径最短 2 汽车停于L处 车头向上 要行驶到M出车头朝下 最短路径是什么 如果可以倒车 3 汽车停于C 车头朝上 要行驶到P处车头朝上 什么路径最短 如果可以倒车呢 问题四 停车问题2 A B 1 2 驾驶一辆车从A处到B处 在A处与AB夹角为 1 到达B出后与AB夹角为 2 如何行驶 路程最短 汽车的最小转弯半径为a 汽车绕行 r x3 y3 汽车从A地出发 到河边取水送往B地 两地之间有一个不能穿越的圆形建筑群 见图 汽车如何行走 才能使得路程最短 o 分析汽车从A到B 又要取水 圆形建筑群又不能穿越 不外乎下面几种走法 已知A B即建筑群中心的坐标都已知 如图所示 建筑群个半径r也已知 建筑群周围就是汽车道路 r x3 y3 o C1 汽车于建筑群与A之间取水走法1 E1 E2 从A到取水点C1 再走C1E1直线切入圆道 上半圆道 再沿圆道行至E2 最后由E2相切走直道至B r x3 y3 o C2 汽车于建筑群与B之间取水走法2 E1 E2 汽车从A直道走入E1 再走弯道E1E2 从E2切出 到取水点C2 最后走直道至B r x3 y3 o C3 汽车在建筑群最南端取水走法3 E1 E2 汽车从A到E1 走圆道 下半圆道 至取水点C3 再走圆道至E2 再切出走直线到B 根据假设 方法4优于方法2 模型假设不管走哪条路径 汽车到达圆形建筑群 总是走切线到达 再走圆弧 然后再从圆形建筑群到B点也走切线 这样才可能路程最短 构建模型 1 先比较取水方法1和方法3的优劣 r x3 y3 o C1 E1 E2 D 如上图所示 过B作通过圆心的直线交C1E1于D 如果不相交 C1更加靠左 方法1的距离更远 连接A D 再过B作切圆于另一点E3 过A作切圆下方于E4 过D作切圆于E5的切线 C 下面来证明方发1距离大于方法3的距离 E5 方法3的距离为 方法1的距离为 下面专门证明 O 过圆心O连接E4延长交DE5于P 显然OE4垂直AE4 则 显然 于是 有 01 由OE5垂直于PE5知 02 而由弧长的计算 由 03 当 时 有 根据 02 03 得到 04 由 01 04 相加 得 即 05 2 比较方法2与方法3的优劣 C 方法2的行驶距离为 仿照上面的证明 有 综上所述 方法3取水时 汽车行驶距离最短 3 求方法3取水的汽车行驶距离 设 C3OE1 C3OE2 AO 06 07 08 所以 取水汽车行驶距离为 其中 下面针对特殊的A B O的取值 对假设的验证 A B D E F O 1 2 如图所示 从A到B的直线道路AB被一半径为r的圆 圆心在o 阻隔 求A到B的最短路径 p Q 根据叙述 从A到B没有直线道路 只有走折线或其它曲线 常识 两点间直线距离最短 为了叙述的方便 作如下假设 1 由于圆的对称性 设A B位于同一直线上 如图所示 2 过A与已知圆相切于E 过B与已知圆相切于F 3 设角EOF 下面所叙述的过程为了说明走任意曲线APQB 其路程都大于走如下路程 注意到OE垂直于AE OF垂直于BF 则 又假设曲线APQB的极坐标方程为 如果曲线不光滑 可以假设其逐段光滑 结果一样 则曲线PQ的长度为 1 由于任意曲线APQB的任意点的半径都大于圆的半径r 则 2 由公式 1 和 2 知 曲线APQB 即从A到B走AE直线切入圆道EF 然后切出走直线FB 曲率限制的停车问题 问题一辆汽车静止于A处 要开到与车身垂直的B处 不能倒车 沿着什么路径行驶路程最短 A B 背景知识从A点行驶到B点必须转弯 由于车身有一定长度 转弯不能转得太小 即路径的曲率K不能太大或者曲率半径r不能太小 可以以火车转弯的轨道来想象 ds dx dy y f x 1 弧长元素 弧微分 计算方法如右图1所示 2 曲率 图1弧长元素 M0 M s C 如右下图2 以M0为起点的曲线光滑曲线C 曲线上任意点点M的切线的倾斜角为 在M附近曲线上点M 的倾斜角为 即当弧长变化 s时 倾斜角变化了 图2曲率的示意图 现象 如果过M点时 曲线 弯曲 厉害 那么 s引起的转角 比较大 1 曲率的定义单位弧长上切线转角的大小 即 弧段 的平均曲率为 点M处的曲率 曲线经过这点时的弯曲程度 为 如果此此极限存在 2 若曲线C对应函数的二阶导数存在 且 3 将 1 和 3 带入 2 得 图3曲率示意图 4 例如 直线y ax b在任意点M的曲率为K 0 为什么 例如圆上任意一点的曲率相同 不放设圆方程为 一阶及二阶导数分别为 带入 4 得到曲率为 3 曲率半径 D y f x M 设曲线y f x 在M处的曲率为K K 0 在M点曲线凹侧法线上取点D 使得 DM 1 K r 以D为圆心 r为半径的圆 与曲线C相切于M 成为曲率圆 D称为曲率中心 r称为曲率半径 即曲率K与曲率半径r之间的关系就是 5 由此可见 如果曲线弯曲得越厉害 曲率K越大 曲率半径越小 转弯越明显 比如小汽车转弯 如果曲线越平展 曲率K越小 曲率半径越大 转弯不明显 比如火车转弯 图4曲率半径示意图 模型假设设小汽车有一定长度 转弯半径不能太小 即路线曲率K不能太大或者曲率半径不能太小 写成约束为 其中a是小汽车能够根据自身长度 能够做最小的转弯半径 圆周半径 6 建立模型 设汽车行驶路径的参数方程为x x t y y t 且已知x 0 0 y 0 0 x T b y T 0 求如下条件极值问题 模型求解 对于这个最优路线控制问题 可以用初等方法求解 下面分三种情况来求解 1 如果A B两点相距较远 AB 2a 即 B距A超过汽车的最小转圈 2 如果 AB 2a 即A与B的距离小于汽车最小圈 3 AB 2a 这种情况比较简单 汽车按照最小转动圈驾驶 行驶半圆就可以到达B点 这不用专门讨论 1 AB 2a 当A距离B较远时 从A行驶到B的最短路径与AB线段维成一个向外凸的区域 否则 如右图所示 汽车最短路径为ACDEB曲线 而此区域的凸包ACEB明显比ACDEB路径短 矛盾 A B C D E 图5凸包示意图 A B O C a 汽车从A要行驶到B 首先要转向 而转向中 以最小半径a转动行驶距离最短 当转到C点时 沿着C切向行驶到B BC 是直线最短路径的距离 注意到条件 6 汽车不能在AOC内行驶 故 是汽车转向最短路径 所以 凸曲线 路径 ACB就是满足条件的最短路径 其余凸路线必须为于ACB以外 其路径长度必定大于ACB的长度 2 AB 2a 从A到B的距离小于汽车最小转动圈的直径时 汽车从A点开始朝同一个方向只是转动时 始终到达不了B 最小转动半径决定 图6先转再直行驶图 A O B y x C a b O1 图7B在最小转动圈内 1 注意到汽车不能倒车 就只有两种方案可选 1 汽车先朝y正向开到C点 而从C点到B点刚好在最小转动圈上 即可沿着转动圈行驶到B 如图7所示 则行驶路径长度为 7 2 汽车从A先向左反向沿着最小转动圈行驶至C C与B恰好位于一个右向最小转动圈上 再沿着次圈行驶到B即可 见图8 图8汽车先左后右的转圈到达B C 根据图示 汽车路径的长度为 其中 8 可以证明 由此可见 当 AB 2a时 选择图8行驶方式 路经最短 路经有曲率K 1 a和K 1 a 开始左转向再右转向行驶 两个圆弧构成的路径最优 作业1 停车问题 p s A L M B C D Q R 如图所示 有三个半径为a的圆 其中两个圆的圆心相距2b 4asin 其中 0 2 第三个圆与这两个圆相切 做圆A B的另一侧公切线CD 若汽车的最小转弯半径为a 不能倒车 讨论如下问题 1 车停于P处 车头朝上 要行驶到S处 什么路径最短 2 汽车停于L处 车头向上 要行驶到M出车头朝下 最短路径是什么 如果可以倒车