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知识点 球的体积与表面积 球的体积与表面积 定义 球既没有底面 也无法像在柱体 锥体和台体那样展开成平面图形 它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体 换言之 在空间中到一定点距离之长为定值的所有点的轨迹即为球 球的体积与表面积 要点诠释 球的体积和面积公式 半径是R的球的体积 表面积S R2 球的体积与表面积 典型例题 1 如图是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几何体的表面积为 A 32 B 16 C 12 D 8 解析 选C 由三视图可知几何体是半径为2的半球 故其表面积应为半球的表面积与底面圆的面积之和 即S 2 R2 R2 3 R2 12 球的体积与表面积 典型例题 2 已知OA为球O的半径 过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M 若圆M的面积为3 则球O的表面积等于 解析 由题意得圆M的半径r 设球的半径为R 又球心到圆M的距离为 由勾股定理得R2 r2 2 R 2 则球的表面积为4 22 16 故填16 答案 16 球的体积与表面积 变式训练 1 已知三个球的半径R1 R2 R3满足R1 2R2 3R3 则它们的表面积S1 S2 S3满足的等量关系是 答案 解析 同理 即R1 R2 R3 由R1 2R2 3R3得 球的体积与表面积 变式训练 2 直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上 若AB AC AA1 2 BAC 120 则此球的表面积等于 解 在 ABC中AB AC 2 BAC 120 可得BC 由正弦定理 可得外接圆半径r 2 设此圆圆心O 为 球心为O 在RT OBO 中 易得球半径R 故此球的表面积为4 R2 20 球的体积与表面积 变式训练 3 已知过球面上A B C三点的截面和球心的距离为球半径的一半 且AB BC
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