2011届高三数学复习(三角函数)2010.7.19.doc

2011届高三数学复习第四讲 三角函数 2010.7.18【三角函数的概念】1.在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么我们规定：（1）比值叫做的正弦，记作，即；（2）比值叫做的余弦，记作，即；（3）比值叫做的正切，记作，即2三角函数的定义域：函 数定 义 域3三角函数的符号：根据三角函数的定义不难发现.例1已知角的终边经过点，求的正弦、余弦、正切值规范解题解：因为，所以，于是；例2已知角的终边过点，求的正弦、余弦、正切三角函数值解：因为过点，所以 ， 当； ；当；例3确定下列三角函数值的符号：（1）； （2）； （3）； （4）链接：如何确定角所在的象限？化成的形式 例4求函数的值域-2，0，2 例5已知与终边相同，判断是第几象限的角 解：与终边相同 则，若为偶数，设，则，与终边相同， 是在第二象限角；若为奇数，设，则，与终边相同，是第四象限角； 所以，是在第二或第四象限的角练习：已知且，（1）求角的集合；（2）求角终边所在的象限；（3）试判断的符号。解：（1）？解：（2）当在第三象限时：若为偶数，设 若为奇数，设 在二、四象限.【同角三角函数的关系（逆用、变用、活用）】（1） 商数关系： （2）平方关系：六组诱导公式，以及这六组公式的综合运用，；， ；， ；， ；， 【两角和与差的正弦、余弦、正切公式】 ； ； ；二倍角公式 ； ； 【能否准确求解下列各题】1.已知=，则= 2.= 3. = 4.= 5.若则 1. 2. 3. 4. 5. =【正弦、余弦、正切的图象与性质】思考：说出经过怎样的变换，可以将正弦曲线变换成函数的图象1. 先把y=sinx的图象向右平行移动/3个单位,得到y=sin(x/3)的图象;再把y=sin(x/3)的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的1/2倍(纵坐标不变),从而得到y=sin(2x+/3)的图象;再把y=sin(2x/3)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),从而得到y=3sin(2x/3)的图象.2. 先把y=sinx的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的1/2倍(纵坐标不变),得到y=sin(2x)的图象;再把y=sin(2x)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),得到y=3sin(2x)的图象;再把y=3sin2x的图象上的所有的点向 右平行移动/6个单位(注意不是/3个单位),即可得到y=3sin(2x/3)的图象.2011届高三数学复习第五讲 三角函数中的重要思想方法 2010.7.19一、【三角函数的条件求值问题要关注角的范围】例1.已知中，求的值.分析：这个问题中，显然：， 关键求，但必需确定的范围，大家此时可能会得到两解：事实上，若，由于，则：而：， 这不可能.例2.已知A是的内角，且，求的值.错解：由两边平方可得： 点评：这题错因主要是没有从0且去发现，从而得到：.变式： 已知，求的值；例3. 设，是一元二次方程的两个根，求的值.错解：由题意知：（1）（2）由（1）、（2）得： 点评：错因主要是没有关注解题过程中生成的信息： 例4.已知为第一象限的角，求的值.提示：寻找和的关系解：原式=为第一象限的角 若：，则但是已知： 原式=例5.已知且，求的值解：易知：，则：=1若只看表面，不深入分析,那可能会得到：，于是：，这样的值就难以确定了.点评：事实上仔细分析不难发现：，于是：其实再深入分析观察还可以进一步缩小的范围：，于是：，这样的值就更清晰了.二、【根据三角函数值求角】1.一组小题若,则 若,则 若,则 若,则 若,则 若,则 若,则 若,则 若,则 即：2.函数的定义域： 3. 已知你选择求还是求？.三、【数形结合思想充分利用图像的功能】1.若函数的图像关于对称，则函数的图像离原点最近的一个对称中心为 .即：有没有注意到：有没有注意到：2. 已知函数，周期为，一条对称轴是直线（1）求的单调增区间. （2）画出在一个周期上的图像.0（3）画出在区间上的图像.00010四、【整体思想】1.暑假作业练习三：16题已知函数（）求函数的对称轴方程和取得最小值时的的集合.（）求函数在区间上的值域.解（1）（2） 当当五、【公式的灵活应用】 1.求解：原式=2.已知，且，求和的值解：3.已知，求的值，你会做了吗？4.已知函数的定义域为，值域为5，1，求的值. 那么：六【和向量结合的问题】已知向量，且，设（1）求及； （2）若的最小值是，求的值；（3）若方程有解，求的取值范围解：（1）=还可以怎么化？（2）=七、【应用问题】1某港口水深y（米）是时间t (，单位：小时)的函数，记作，下面是某日水深的数据t (小时)03691215182124y (米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察：的曲线可近似看成函数的图象（A 0，）（I）求出函数的近似表达式；（II）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间？2.暑假作业三：20解：（1）M(4,3);P(8,0) MP=5(2)在三角形MNP中，由正弦定理得：显然：当时，.最长.3.暑假作业三：19解：点 A到BC的距离为= 的最大值为巩固练习1.设向量当= 时，A,B,C三点共线.2.四边形ABCD中，E,F分别是CD，AB边上的中点，用表示 3.若则= 若，且的夹角为1200，则当= 时，的值最小.4.已知则= .5.已知，当时，的最小值为，求的值.6. 设向量（1）若点A,B,C能构成三角形，求m应满足的条件；（2）若三角形ABC中，求m的值.7.已知函数（1）当为何值时，取最小值时 ；（2）求的值（3）设，求的值【2010年高考三角函数问题赏析】1、三角函数的概念及同角关系式此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取.例1（10全国I卷理2）记,那么A. B. - C. D. -解：,。故选B例2（10全国1卷文1）(A) (B)- (C) (D) 解：2、三角函数的化简求值这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值.例3（10重庆文数15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径相等. 设第段弧所对的圆心角为，则_ 解又 ，例4（10全国卷1理数14)已知为第三象限的角，,则 .解： 为第三象限的角 2()又0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（A） (B) (C) (D)3 解：将y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后为=2k, 即又 ， k1故， 所以选C4、三角形中的三角函数此类题主要考查在三角形中三角函数的利用. 解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理.例7（10天津理数7）在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A=（A） （B） （C） （D）解：由正弦定理得所以cosA=，所以A=300. 例8 （10江苏卷13）、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则=_。解： =5、三角应用题此类题主要考查三角函数实际应用. 解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等。例9（10北京文7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A）； （B）（C） （D） 解：四个等腰三角形面积之和42由余弦定理可得正方形的边长为，正方形的面积为，所求八边形的面积为评注：本题主要考查解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想 例10（10福建理19）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。解：（）要使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为OT，小艇到达T位置时轮船的航行位移即， （海里/时）答：小艇航行速度应为海里。（）分类讨论得： (1) 若轮船与小艇在A、T之间G位置相遇则有OGAG，又因为 AGOG，所以不符合要求舍去。所以轮船与小艇的交点必在T、B之间。（2）若轮船与小艇在H处相遇则在直角三角形OHT中运用勾股定理有：，设 则：OABTGH从而所以当时，即。答：当小艇以30海里每小时的速度，沿北偏东方向行走能以最短的时间遇到轮船。评注: 本题从三角函数出发，考查了学生运用知识解决实际问题的能力、求解一元二次方程最值问题的能力以及综合分析问题的能力。对待应用题没有什么通解通法，只要认真读题、审题，通过列表、作图等方式合理分析已知量间的关系，总是能够轻松解题。 6、三角函数的最值及综合应用。此类问题主要考查三角函数最值和与三角函数有关学科内综合问题，如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合。多为解答题。而三角形中三角函数最值问题仍将是高考的热点。，例11.（10湖南文数16. ）已知函数（I）求函数的最小正周期。(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合。解：1） 函数最小正周期为 T= 2）当即,取最大值 因此函数取最大值时的集合为/评注:本小题依托