2010年湖南长沙一中三模(理科数学).doc

长沙市一中2010届第三次模拟试卷理科数学一选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 函数的定义域是（ ） ABCD2有下列四个命题，其中真命题是 （ ） AB CD3已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为 （ ）ABC D64函数f（x）=的图象大致是 （ ）5已知ABP的顶点A、B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于 A B CD 6我市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每天做作业时间为x(单位：分钟)，按时间分下列四种情况统计：030分钟；3060分钟；6090分钟；90分钟及90分钟以上，有1 000名小学生参加了此项调查，下图是此次调查的流程图，已知输出的结果是600，则平均每天做作业时间在060分钟内的学生的频率是 ( )A0.20B0.40C0.60D0.807已知0a1，0b1，则函数的图象恒在x轴上方的概率为（ ） ABCD8已知f(x)是R上的偶函数，当x0时，f (x)= ，又a是函数g (x) =的正零点，则f（2），f（a），f（1.5）的大上关系是（ ） AB CD二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡对应题号后的横线上）9用0.618法确定的试点，则经过 次试验后，存优范围缩小为原来的0.6184倍10在等差数列an中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则的值为 11已知复数，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若，则的值是 12在极坐标系中，和极轴垂直相交的直线l与圆相交于A、B两点，若|AB|=4，则直线l的极坐标方程为 13在计算机的运行过程中，常常要进行二进制数与十进制数的转换与运算如：十进制数8转换成二进制是1000，记作8（10）=1000（2）；二进制数111转换成十进制数是7，记作111（2）=7（10）二进制的四则运算，如：11（2）+101（2）=1000（2），请计算：11（2）111（2）+1111（2）= （2）14不等式恒成立，则实数a的取值范围是 15设集合M=1，2，3，4，5，6，对于ai，biM，记且，由所有组成的集合设为：A=e1，e2，ek，则k的值为 ；设集合B=，对任意eiA，B，则的概率为 三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（本大题满分12分）上海世博会在游客入园参观的试运营阶段，为了解每个入口的通行速度，在一号入口处随机抽取甲、乙两名安检人员在一小时内完成游客入园人数的8次记录，记录人数的茎叶图如下： （1）现在从甲、乙两人中选一人担任客流高峰阶段的安检员，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位安检员参加合适？请说明理由；（2）若将频率视为概率，甲安检员在正式开园的一个工作日的4小时内,每个单位小时段安检人数高于80人的次数记为，求的分布列及数学期望E17（本大题满分12分）已知函数f (x) = 2sin2（1）若函数h (x) = f (x + t)的图象关于点对称，且t(0，)，求t的值；（2）设p：x，q：|f (x) m|3，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围18（本大题满分12分）如图1所示，圆O的直径AB = 6，C为圆周上一点，BC = 3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD与直线l、圆O分别交于点D、E （1）求DAC的大小及线段AE的长； 图2 （2）如图2所示,将ACD沿AC折起，点D折至点图1P处，且使得ACP所在平面与圆O所在平面垂直，连结BP，求二面角PABC大小的余弦值19（本小题满分13分）2010年我国西南地区遭受特大旱灾，某地政府决定兴修水利，某灌渠的横截面设计方案如图所示，横截面边界AOB设计为抛物线型，渠宽AB为2m，渠深OC为1.5m，正常灌溉时水面EF距AB为0.5m （1）求水面EF的宽度； （2）为了使灌渠流量加大，将此水渠的横截面改造为等腰梯形，受地理条件限制要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面等腰梯形的下底边长为多大时，才能使所挖的土最少？ 20（本小题满分13分）已知函数f (x) = （1）若函数f (x)在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围； （2）若函数f (x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且 若a13，求证：ann + 2；若a1 = 4，试比较的大小，并说明你的理由21（本大题满分13分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，半焦距为c，直线与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中 （1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围； （2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由理科数学参考答案1 【解析】A 由2x10，求得x02【解析】B 对于选项A，令即可验证不正确；对于选项C、选项D，可令n= 1加以验证其不正确，故选B3【解析】C 如图将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为4，设底面连长为a，则故体积4【解析】B 函数y=ln|x|（x0）的图象与函数y=lnx的图象关于y轴对称，函数的图象是反比例函数 的图象在每一象限的部分5【解析】C 由题意得：|PBPA|=8，|AB|=2，从而由正弦定理，得6【解析】B 由流程图可见，当作业时间X大于60时，S将会增加1，由此可知S统计的是作业时间为60分钟以上的学生数量，因此由输出结果为600知有600名学生的作业时间超过60分钟，因此作业时间在060分钟内的学生总数有1000600=400名，所以所求频率为400/1000=0.4. 7【解析】D 因为函数图象恒在x轴上方，则4，所以，即则建立关于a，b的直角坐标系，画出关于a和b的平面区域，如图此时，可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量，满足图象在x轴上方的事件A所对应的几何度量所以8【解析】A 当a0时，易知g（x）为增函数，而且g（2）=ln3 10，g（1.5）=ln2.5lne1=0，于是由零点存在定理可知在区间（1.5，2）内g（x）存在零点，再由单调性结合题意可知a就为这个零点，因此有1.5a2又当x0时，直接求导即得，于是当x1时，我们有，由此可见f（x）在上单调增，可见必有，而又由于f（x）为偶函数，所以，故选A 9【解析】5次 10【解析】8 由已知得：，又分别设等差数列首项为a1，公差为d，则11【解析】因为点A(1，2)，B(1，1)，C(3，4)所以+，因此，即，所以12【解析】 由该圆的极坐标方程为知该圆的半径为4，又直线l被该圆截得的弦长|AB|为4，设该圆圆心为O，则AOB=60，极点到直线l的距离为，所以直线的极坐标方程为13【解析】100100 由题可知，在二进制数中的运算规律是“逢二进一”，所以11（2）111（2=10101（2），10101（2）+1111（2）=100100（2）14【解析】4a6 不等式对于一切非零实数x均成立，可以先求出的最小值，然后利用小于这个最小值即可求解a的取值范围当x0时，；当x0时，从而恒成立，所以不等式对于一切非零实数x均成立，可转化主，即15【解析】11； 由题意知，ai，biM，aibi，首先考虑M中的二元子集有1，2，1，3，5，6，共15个，即为=15个又aibi，满足的二元子集有：1，2，2，4，3，6，这时，1，3，2，6，这时，2，3，4，6，这时，共7个二元子集故集全A中的元素个数为k=15 7 +3=11列举A=，B=2，3，4，5，6，共6对所求概率为：16【解析】（1）派甲参赛比较合适理由如下：甲 = (702 + 804 + 902 + 8 + 9 + 1 + 2 + 4 + 8 + 3 + 5) = 85，(701 + 804 + 903 + 5 + 0 + 0 + 3 + 5 + 0 + 2 + 5) = 85，(78 85)2+ (79 85)2 + (81 85)2 + (82 85)2 + (84 85)2 + (88 85)2 + (90 85)2 + (92 85)2 + (95 85)2 = 35.5 S乙2=41，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适（6分）注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分如派乙参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲检测85人以上（含85人）的概率P1 = ，乙检测85人以上（含85人）的概率P2P1，派乙参赛比较合适（2）记“甲安检员在一小时内完成安检人数高于80人”为事件A，随机变量的可能取值为0、1、2、3，且B (4，)P (= k) = k = 01，2，3，4 8分所以变量的分布列为：01234P（10分） E = 4= 3 （12分）17【解析】（1）（4分）h (x) = f (x + t) = 2sin ()，h (x)的图象的对称中心为，kZ，又已知点为h (x)的图象的一个对称中心，而t(0，)，t = （7分）（2）若p成立，即当x时，f (x)1，2，由|f (x) m|3m 3f (x)m + 3，p是q的充分不必要条件，解得1m4，即m的取值范围是1，4（12分）18 【解析】（1）连结OC，则OCAD，CB = OB = OC，COB =EAO = 60，CAO = 30，RtAEBRtBCA，CB = AE = 3（5分）（2）过P作PHAC于H，由于平面PAC平面O，则PH平面O过H作HFAB于F，连结PF，则PFAB，故PFH为二面角PABC的平面角（8分）在RtAPC中，PH = APsin30= ACcos30sin30= ，图2DAP2 = AHAC得AH = ，在RtAFH中，FH = AH sin30=，故tanPFH = 12分另解：过P作PHAC于H，则PH平面O，过H作HFCB交AB于F，以H为原点，HF、HA、HP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标则H (0，0，0)，A (，0，0)，B (，3，0)，P (0，0，)从而，设平面PAB的法向量则令x=1，从而，而平面ABC的法向量为故12分 19【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，则A(1，1.5)，B (1，1.5)，C (0，1.5) 设抛物线方程为x2 = 2py (p0)，由点A (1，1.5)代入方程，得到1 = 2p1.5，即，所以抛物线方程为x2 = ，由点E的纵坐标为1，得到点E横坐标为，所以截面图中水面宽度为m（6分） （2）设抛物线上一点M因为改造水渠时只准挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M与抛物线相切的切线挖土 由，即，求导得，所以过点M的切线斜率为3t，切线方程为，令y = 0，则，所以截面面积为S = ，当且仅当t = 时等号成立 所以截面梯形的下底边长为m时，才能使所挖的土最少（13分）20【解析】（1）f (1) = a b = 0，a = b，f(x) = 要使函数f (x)在其定义域内为单调函数，则在(0，+)内f(x) 恒大于或等于零，或恒小于或等于零 由得而 由得 而 经验证a=0及a=1均合题意，故所求实数a的取值范围为a1或a0（5分）（2）函数f (x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，f(1) = 0，即a + a 2 = 0，解得a = 1，f(x) = ，an + 1 = f（7分）用数学归纳法证明：（i）当n = 1时，a13 = 1 + 2，不等式成立；（ii）假设当n = k时不等式成立，即那么ak k20，ak + 1 = ak (ak k) + 12 (k + 2) + 1 = (k + 3) + k + 2k + 3，也就是说，当n = k + 1时，ak + 1(k + 1) + 2根据（i）和（ii），对于所有n1，有ann + 2（10分）由an + 1 = an (an n) + 1及，对k2，有ak = ak 1 (ak1 k + 1) + 1ak 1 (k 1 + 2 k + 1) + 1 = 2ak1 + 1，ak + 12 (ak1 + 1)22 (ak 2 + 1)23 (ak 3 + 1)2k1 (a1 + 1)而，于是当k2时，（13分）21【解析】(1)由于， 解得a2=2，b2=1，从而所求椭圆的方程为（2分）三点共线，而点N的坐标为（2，0）设直线AB的方程为，其中k为直线AB的斜率，依条件知k0由消去x得即根据条件可知解得，依题意取 （5分）设，则根据韦达定理，得又由