第5章 微扰理论-量子跃迁.doc

6.含时微扰论前面，我们解决的是与无关，但不能直接求解，而利用有解析解，并且较小，通过微扰法求解的近似结果。有时也能用试探波函数，通过变分来获得。现在要处理的问题是：体系原处于的本征态（或叠加），而有一与有关的微扰附加到该体系。显然，这时体系的能量不是运动常数，其状态并不处于定态（即使在一段时间中不变），在的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。而且无法获得解析结果。有时附加作用在一段时间之后结束，这时体系处于的本征态的几率又不随时间变化。当然，这与作用前的几率已有所不同。也就是，体系可以从一个态以一定几率跃迁到另一态，这称为量子跃迁。这就需要利用含时间的微扰论。总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。与有关，体系原处于，随加一微动 , 因不显含，而有 则 的通解为 的定态 而 是常数 不随变当时，即，处于时 即微扰不存在时，体系处于定态上。当微扰存在时，特别是与有关时，则体系处于的各本征态（或定态） 的几率将可能随时间发生变化。设 当然，仍可按的定态展开，但由于不是的定态，所以展开系数是与有关。代人S.eq.，并与标积，得 得方程 （为的本征态）是时刻，以描述的体系，处于的本征态中的几率振幅。实际上，上式是S.eq.在表象中的矩阵表示，这方程的解依赖初态和。假设很小，可看作一微扰，则可通过逐级近似求解。令 则有 于是有解 与无关由初条件时，体系处于，即得 即 于是有 又由 由此类推 而 若很小，即跃迁几率很少，我们只要取一级近似即可，则 这表明，体系在时刻处于态，在时刻，体系可处于的定态，而其几率振幅为（）。因此，我们在时刻，测量发现体系处于这一态的几率为 例：一线性谐振子，被时间相关的位势所扰动而 （即），体系处于基态。 求，振子处于第个激发态的几率？ 当很大 我们看到，微扰是渐渐加上，体系经微扰后仍处于基态（没有简并），称Adiabatic Approximation（当有简并时，并不如此，而是连续地过渡到时的本征态上）。 当很小，即微扰在很短时间加上，即在非常快的过程（微扰施加），则体系状保持不变，这称为Sudden approximation。因很小。 末态初态。 当突然加一外场，波函数不变 在的能级几率为 求体系处于第个激发态的几率。由于 一级微扰为，一级跃迁几率为以此类推，仅当时才不为（最低级近似为第十级近似 ）即最低要到第十级近似下才不为 例2：处于基态（）的氢原子，受位势（）（为实参数）扰动 求时，处于态的几率 求 选择定则：由 对选择定则为： 当很大（即微扰时间很短），所以氢原子受扰动后仍处于基态（Sudden 近似）当很小（微扰缓慢加上），所以氢原子扰动仍处于基态（非简并态）7.微扰引起的跃迁几率1.常微扰下的跃迁率：在某些实验中，微扰常常是不依赖于的（在作用时间内） （即从开始加上一个与无关的外作用） （，） 时，体系处于本征态，而在时刻，体系处于本征态的几率为 （当时，一级近似就满足了） (跃迁几率) 而我们知 即很大时， 由此可见，时，最大，而时，小 （时，为，） 时，最大这表明，当大时，保持时的变化不大的跃迁几率较大。而这范围很小（）,总跃迁几率为( 是末态能量为的态密度，要注意的是的能级密度，而不是的。)而单位时间跃迁几率（称为跃迁速率或跃迁率） 我们也知 所以，当足够大，则有 （）它表明： 单位时间跃迁几率与时间无关。通常称为Fermi黄金定则。 当一定大后，跃迁贡献是来自同初态能量相同的末态。应该强调，使公式成立的条件：足够大，（）虽然很小，但主要贡献都包括；但不能太大，以保证，所以要求要小，使一级近似满足要求。2周期性微扰下的跃迁率设微扰随时间作周期性变化 （与无关）在一级近似下 根据前面分析，当足够大时，引起体系从的态发生跃迁的总跃迁率到的态，是，即。一般而言，对原子来说，其跃迁的能量单位为 而可见光 .因此 ，当 ， 则 很大 ， 则 很大所以仅一项起作用当足够大时，总跃迁率（从态出发）例：设有均匀的周期性电场作用在一个氢原子上，该氢原子在时处于基态，试用微扰论求氢原子电离的跃迁率。 解：由于讨论的是电离，即氢原子中电子被电离而具有确定动量的自由电子，为简单起见，设末态是具有确定动量的平面波。如末态为平面波： 由这可见，在空间中态密度为。 因此，末态在中的态数为所以跃迁到立体角中的跃迁率为 注意：这时 由 ， 可以看到，在处几率达到极大。3辐射场下原子的跃迁率当微扰影响较小时，一级近似很好 现考虑原子被置于一个纯辐射场中 在原子区域中，无外电场 ， ,则满足 令 则有 （由于为实） （） （电磁场弱，忽略项）在电磁波很弱条件下，一级微扰很小，则 可以证明： 即受激辐射和退激发跃迁率相等同样可以证明在 弱辐射场 长波近似 辐射是非极化的（极化各向同性，某几率条件下）。单位时间跃迁几率，即跃迁率（， ）其中为能量密度分布，即光强度分布。为单位时间通过单位面积的能量分布。8.磁共振均匀磁场 （在Z 方向 ），将使电子的简并态（自旋 ）发生分裂，其能量差 其中 当电子吸收一光子 ，则将电子激发到较高能级，即自旋向上的态。A. 跃迁几率和跃迁率设：有一垂直于静场 的磁场。于是，总磁场为若振荡场比静场小 电子的总哈密顿量在 表象，即在 表象，中 设 时刻，电子自旋态的本征值为 。在一级近似下，从本征值为 的自旋态跃迁到本征值为 的自旋态的几率 若 为单位频率中的态密度，则总的跃迁几率为 ( 若 t 足够大或 在共振区变化很缓慢 )所以，单位时间的跃迁几率（ 跃迁率）为 B. 两能级间的震荡电子的总哈密顿量在 表象，即在 表象中为设 时刻，电子状态或称自旋态的表示为 于是有令 所以，时，有解时，有解 于是有 普遍解为其中 若 ，电子处于 本征值为 的本征态，其表示即为 ，则要求所以， 最后