2013年全国高校自主招生数学模拟试卷七及答案张阳阳.doc

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷七及答案 命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳一选择题（36分，每小题6分）1、 函数f(x)=的单调递增区间是(A) (-，-1) (B) (-，1) (C) (1，+) (D) (3，+)解：由x2-2x-30x3，令f(x)=, u= x2-2x-3，故选A2、 若实数x, y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 解：B3、 函数f(x)=(A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数解：A4、 直线椭圆相交于A，B两点，该圆上点P，使得PAB面积等于3，这样的点P共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个解：设P1(4cosa,3sina) (0a)，即点P1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P1AOB的面积S。S=6(sina+cosa)=xyOABP1 Smax=6 SOAB=6 3 点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选B5、 已知两个实数集合A=a1, a2, , a100与B=b1, b2, , b50，若从A到B的映射f使得B中的每一个元素都有原象，且f(a1)f(a2)f(a100)，则这样的映射共有(A) (B) (C) (D) 解：不妨设b1b2b50，将A中元素a1, a2, , a100按顺序分为非空的50组，定义映射f：AB，使得第i组的元素在f之下的象都是bi (i=1,2,50)，易知这样的f满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f的个数与A按足码顺序分为50组的分法数相等，而A的分法数为，则这样的映射共有，故选D。6、 由曲线x2=4y, x2= -4y, x=4, x= -4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1，满足x2+y216, x2+(y-2)24, x2+(y+2)24的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则(A) V1=V2 (B) V1=V2 (C) V1=V2 (D) V1=2V2yxxyoo4444-4-4-4-4解：如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，则所得截面面积S1=p(42-4|y|) , S2=p(42-y2)-p4-(2-|y|)2=p(42-4|y|) S1=S2由祖暅原理知，两个几何体体积相等。故远C。一、 填空题（54分，每小题9分）7、 已知复数Z1,Z2满足|Z1|=2, |Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60，则= 。解：由余弦定理得|Z1+Z2|=, |Z1-Z2|=, =P9P1P2P3P4P5P6P7P8P108、 将二项式的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有 个。解：不难求出前三项的系数分别是，当n=8时， (r=0,1,2,，8) r=0,4,8,即有3个9、 如图，点P1,P2,P10分别是四面体点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P1, Pi, Pj, Pk)(1ij0，所以只须求x-y的最小值。令x-y=u代入x2-4y2=4中有3y2-2uy+(4-u2)=0 yR 0 当时，u=，故|x|-|y|的最小值是12、 使不等式sin2x+acosx+a21+cosx对一切xR恒成立的负数a的取值范围是 。解：sin2x+acosx+a21+cosxa0,当cosx=1时，函数有最大值a2+a-20a-2或a1a1)，使得存在tR，只要x1,m，就有f(x+t)x解：f(x-4)=f(2-x) 函数的图象关于x= -1对称 b=2a由知当x= -1时,y=0，即a-b+c=0由得 f(1)1，由得 f(1)1f(1)=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0a= b= c=f(x)= 5分假设存在tR，只要x1,m，就有f(x+t)x取x=1时，有f(t+1)1(t+1)2+(t+1)+1-4t0对固定的t-4,0，取x=m，有f(t +m)m(t+m)2+(t+m)+mm2-2(1-t)m+(t2+2t+1)0m 10分 m=9 15分当t= -4时，对任意的x1,9，恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)0m的最大值为9。 20分另解：f(x-4)=f(2-x) 函数的图象关于x= -1对称 b=2a由知当x= -1时,y=0，即a-b+c=0由得 f(1)1，由得 f(1)1f(1)=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0a= b= c=f(x)=(x+1)2 5分 由f(x+t)=(x+t+1)2x 在x1,m上恒成立 4f(x+t)-x=x2+2(t-1)x+(t+1)20当x1,m时，恒成立 令 x=1有t2+4t0-4t0令x=m有t2+2(m+1)t+(m-1)2