江苏专转本第四章向量代数与空间解析几何.ppt

第四章向量代数与空间解析几何 表示法 向量的模 向量的大小 一 向量的概念 1 向量 又称矢量 既有大小 又有方向的量称为向量 2 向径 矢径 3 自由向量 与起点无关的向量 起点为原点的向量 4 单位向量 模为1的向量 5 零向量 模为0的向量 有向线段M1M2 或a 第一节向量及其线性运算 二 向量的线性运算 1 向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 2 向量的减法 3 向量与数的乘法 是一个数 运算律 结合律 分配律 因此 三 空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系 坐标原点 坐标轴 x轴 横轴 y轴 纵轴 z轴 竖轴 过空间一定点o 坐标面 卦限 八个 zox面 1 空间直角坐标系的基本概念 向径 在直角坐标系下 坐标轴上的点P Q R 坐标面上的点A B C 点M 特殊点的坐标 有序数组 称为点M的坐标 原点O 0 0 0 坐标轴 坐标面 2 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下 设点M 则 沿三个坐标轴方向的分向量 的坐标为 设 则 3 平行向量对应坐标成比例 1 2 4 四 利用坐标作向量的线性运算 已知向量 5 五 两向量的数量积 1 定义 设向量 的夹角为 称 数量积 点积 2 性质 3 运算律 1 交换律 2 结合律 3 分配律 设 则 4 数量积的坐标表示 例4 1 已知向量 则与的夹角为 六 两向量的向量积 1 定义 2 性质 为非零向量 则 3 运算律 2 分配律 3 结合律 4 向量积的坐标表示式 设 则 向量积的行列式计算法 例4 2 已知三点 角形ABC的面积 解 如图所示 求三 例4 4 若 则 例4 3 设向量 则 设 1 加减 2 数乘 4 点积 5 叉积 3 模 内容小结 例4 5 已知向量 的夹角 且 解 2008 4 设向量 则等于 A 2 5 4 B 2 5 4 C 2 5 4 D 2 5 4 2007 10 已知均为单位向量 且 则以向量为邻边的平行四边形的面积为 2006 10 设 则 2005 10 设向量互相垂直 则 一 平面的点法式方程 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 称 式为平面 的点法式方程 求该平面 的方程 法向量 量 则有 故 第二节平面方程 例4 6 求过三点 即 解 取该平面 的法向量为 的平面 的方程 利用点法式得平面 的方程 特别 当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程 时 平面方程为 二 平面的一般方程 平面的点法式方程 特殊情形 当D 0时 Ax By Cz 0表示 通过原点的平面 当A 0时 By Cz D 0的法向量 平面平行于x轴 Ax Cz D 0表示 Ax By D 0表示 Cz D 0表示 Ax D 0表示 By D 0表示 平行于y轴的平面 平行于z轴的平面 平行于xoy面的平面 平行于yoz面的平面 平行于zox面的平面 例4 7 求通过x轴和点 4 3 1 的平面方程 解 因平面通过x轴 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简 得所求平面方程 三 两平面的夹角 设平面 1的法向量为 平面 2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 即 两平面法向量的夹角 常为锐角 称为两平面的夹角 特别有下列结论 因此有 例4 8 一平面通过两点 垂直于平面 x y z 0 求其方程 解 设所求平面的法向量为 即 的法向量 约去C 得 即 和 则所求平面 故 方程为 且 例4 9 求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程 解 已知二平面的法向量为 取所求平面的法向量 则所求平面方程为 化简得 1 平面基本方程 一般式 点法式 截距式 内容小结 2 平面与平面之间的关系 平面 平面 1 垂直 2 平行 3 夹角公式 因此其一般式方程 1 一般式方程 直线可视为两平面交线 不唯一 第三节空间直线方程 一 空间直线方程 2 对称式方程 故有 设直线上的动点为 则 此式称为直线的对称式方程 也称为点向式方程 已知直线上一点 和它的方向向量 3 参数式方程 设 得参数式方程 例4 10 用对称式及参数式表示直线 解 先在直线上找一点 再求直线的方向向量 令x 1 解方程组 得 已知直线的相交两平面的法向量为 是直线上一点 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路 先找直线上一点 再找直线的方向向量 二 线面间的位置关系 1 两直线的夹角 则两直线夹角 满足 特别有 例4 11 求以下两直线的夹角 解 直线 直线 二直线夹角 的余弦为 从而 的方向向量为 的方向向量为 当直线与平面垂直时 规定其夹角 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角 2 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时 设直线L的方向向量为 平面 的法向量为 则直线与平面夹角 满足 直线和它在平面上的投影直 特别有 解 取已知平面的法向量 则直线的对称式方程为 直的直线方程 为所求直线的方向向量 垂 例4 12 求过点 1 2 4 且与平面 1 空间直线方程 一般式 对称式 参数式 内容小结 直线 2 线与线的关系 直线 1 垂直 2 平行 3 夹角公式 平面 L L 3 面与线间的关系 直线L 1 垂直