母体与子样、经验分布函数.ppt

第六章数理统计的基本概念 对随机现象进行观测 试验 以取得有代表性的观测值 对已取得的观测值进行整理 分析 作出推断 决策 从而找出所研究的对象的规律性 数理统计的分类 描述统计学 推断统计学 点估计 第六章 假设检验 第七章 回归分析 第八章 方差分析 第八章 推断统计学 美国经济学家罗伯特恩格尔 RobertF Engle1942 英国经济学克莱夫格兰杰 CliveGranger1934 共同获得 2003年诺贝尔经济学奖 20世纪80年代两位获奖者发明了新的统计方法来处理许多经济时间数列中两个关键属性 易变性 随时间变化的 非稳定性 恩格尔研究方向主要是利率 汇率和期权的金融计量分析 提出谱分析回归等创新性统计方法 格兰杰的研究涉及统计和经济计量学 时间序列分析 预测 金融 人口统计学 方法论等领域 特别是 一 教学目的与要求1 掌握母体 子样 统计量等数理统计的基本概念 2 熟练掌握正态总体的有关统计量的分布 3 了解数理统计的基本思想方法以及应用领域 二 教学重点和难点本章的教学重点和难点都是正态总体的有关统计量的分布 6 1母体与子样 经验分布函数 一 母体与个体 二 简单随机子样 三 经验分布函数 主要内容 样本 子样 从母体中随机抽取n个个体进行观测 且这n个个体的某一指标为 称这n个个体的指标 为一个样本 子样 个体 而组成母体的每一单元成员称为个体 随机抽样 在母体中按机会均等的原则随机的抽取一些个体进行观测或测试的过程称为随机抽样 一 母体与个体 母体 总体 在数理统计学中我们把研究对象的全体所构成的一个集合称为母体 总体 样本容量 容量 样本中的个体的数目 称作为 这样本的样本容量 容量 样本值 观测值 数据 在一次抽样以后 观测到 的一组确定的值 称为容 的样本的样本值 观测值 数据 样本空间 子样空间 我们把样本 切可能结果的全体称为样本空间 子样空间 量为 的一 二 简单随机子样 定义 若 为来自母体 的一组子样 且满足 与母体具有相同的分布 是相互独立的随机变量 为一组简单随机子样 简称为子样 注 以下讨论的都是简单随机子样 一般 对有限总体 放回抽样所得到的样本为简单随机样本 但使用不方便 常用不放回抽样代替 而代替的条件是 总体中个体总数 样本容量 设母体具有分布函数 为取自这一母体的容量为 的子样 则 的联合分布函数为 设母体具有密度函数 为取自这一母体的容量为 的子样 则 的联合密度函数为 例如设某批产品共有N个 其中的次品数为M 其次品率为 若p是未知的 则可用抽样方法来估计它 服从参数为p的0 1分布 可用如下表示方法 从这批产品中任取一个产品 用随机变量 来描述它是否是次品 设有放回地抽取一个容量为n的样本 其样本值为 样本空间为 的联合分布为 概率函数的概念 若 为离散型随机变量 其分布列为 令 若 为连续型随机变量 其密度函数为 令 称 为 的概率函数 设母体 的概率函数为 为取自母体 的一组子样 则 的联合概率函数为 例1 设母体 服从参数为 的泊松分布 为取自母体 的一组子样 求 的联合概率函数 所以 从而 解 因为 的联合概率函数为 例2 设母体 为取自母体 的一组子样 求 的联合概率函数 所以 从而 的联合概率函数为 解 因为 三 经验分布函数 设 是取自分布为F x 的母体中一个简单随机子样的 观测值 若把子样观测值由小到大进行排列得 这里 是子样观测值 中最小一个 是子样观测 值中第i个小的数等 则 显然 是非减右连续函数 且满足 由此可见 是一个分布函数 称作经验分布函数 或子 是事件 概率 当n固定时 它是一个随机变量 据贝努利大数定律 则 依概率收敛于F x 即 有 样分布函数 对于每一个固定的x 发生的 进一步有 由此可见 当n相当大时 经验分布函数 函数F x 的一个良好的近似 是母体分布 主要内容 6 2统计量及其分布 一 统计量的概念 二 统计量的分布 我们知道子样是母体的反映 但是子样所含的信息不能直接用于解决我们所要研究的问题 而需要把子样所含的信息进行数学上的加工 使其浓缩起来 从而解决我们的问题 这在数理统计学中往往通过构造一个合适的依赖于子样的函数 统计量来达到 一 统计量的概念 1 定义 定义6 1一个统计量是子样的一个函数 如果子样容量为n 它也就是n个随机变量的函数 并且要求这个函数是不依赖于任何未知参数的随机变量 统计量的分布称为抽样分布 是 不是 实例1 2 常用统计量 是由母体 取出的容量为n的子样 称为样本均值 称为样本方差 称为样本的k阶原点矩 称为样本的k阶中心矩 定义6 2 统计量 统计量 统计量 统计量 统计量 若 是子样 的一组观测值 分别为子样均值 和子样方差 的观测值 例从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件 测得其重量为 单位 公斤 210 243 185 240 215 228 196 235 200 199 求这组样本值的均值 方差 二阶原点矩与二阶中心矩 解 令 则 二 统计量的分布 定理6 1设母体 的分布函数F x 具有二阶矩 即 若 是取自母体的一个子样 则子样均值 的数学期望和方差分别为 1 分布 1 分布 2 分布 3 分布 若假设母体的原点矩 和中心矩 都存在 则 定理6 2设母体 服从 是取 服从正态分布 自这个母体的一个子样 则 定理6 3设 是正态母体 其子样均值与子样方差分别为 的一个子样 则1 相互独立 服从 2 推论1设 为取自正态母体 子样 分别为子样均值与子样方差 则 服从自由度为n 1的t分布t n 1 的一个 自由度为 1 n 1 的F分布F 1 n 1 服从 推