蒲丰投针与蒙特卡洛(MonteCarlo)方法.pdf

蒲丰投针与蒙特卡洛 Monte Carlo 方法 1777年法国科学家蒲丰 Buffon 提出并解决了如下的投针问题 桌面上画有一些平行 线 它们之间的距离都是 一根长为a all 的针随机地投在桌面上 问 此针与任一直 线相交的概率是多少 设表示针的中点到最近的一条平 行线的距离 Y 表示针与平行线的夹角 如 图 如果 X 2sin l Y X 或Y l Xsin 2 时 针与一条直线相交 由于向桌面投针是随机的 所以用来 确定针在桌面上位置的是二维随机 向量 并且在 YX X 2 0 a 上服从均匀分布 在Y 2 0 上服从均匀分布 与Y相互独立 由此可以写出的联合概率密度函数 X YX a X l Y 其它0 2 0 2 0 4 y a x a yxf 于是 所求概率为 2 0 sin 2 0 sin 2 24 sin 2 a l dxdy a dxdyyxfY l XP y l y l x 由于最后的结果与 有关 因此有些人想利用它来计算 的值 其方法是向桌面投针 次 若针与直线相交次 则针与直线相交的频率为nk n k 以频率代替概率 则有 a l n k 2 所以 ak nl2 下表列举了这些试验的有关资料 投针试验的历史资料 折算为1 a 试验者 年份 针长投针次数n 相交次数k 的试验值 Wolf 1850 0 85000 2532 3 1596 Smith 1855 0 63204 1219 3 1554 De Morgan 1860 1 600 383 3 137 Fox 1884 0 751030 489 3 1595 Lazzerini 1901 0 833408 1801 3 1415929 Reina 1925 0 542520 859 3 1795 这个思路已被人们发展成为统计学的一个分支 随机试验法或称为蒙特卡洛 Monte Carlo 方法 其中随机试验可借助计算机大量重复 以致结果更接近真值 目前 蒙特卡洛方法广泛地应用于市场预测 证券投资 金融与保险行业 在计算机高度普及的今 这个概率也可以通过几何型概率来计算 1 天 有着广阔的应用前景 在随机模拟 蒙特卡洛方法 中 经常要产生正态分布的随机数 但一般计 算机只具备产生区间 0 1 上的均匀分布的随机数 常称为伪随机数 的软件 怎样通过 均匀分布的随机数来产生正态分布的随机数呢 利用中心极限定理可以获 得正态分布 已知 的随机数 具体做法如下 2 N 1 0 U 2 N 2 N 2 1 从计算机中产生均匀分布的随机数30个 当然 也可以是任意个 m越 大越好 主要是符合中心极限定理的条件 记为 由于 1 0 Um 3021 uuu 2 1 i uE 30 2 1 12 1 iuD i 根据中心极限定理 可以认为近似服从均值为 30 1i i u1530 2 1 方 差为5 230 12 1 的正态分布 2 计算 5 2 15 3021 uuu v 由中心极限定理 它可以看作是来自标准正态 分布的一个随机数 1 0 N 3 变换 vx 由正态分布的性质可知 它可以看作是来自正态分布 的一个随机数 2 N 重复以上步骤 即可得到正态分布的一组随机数 这种做法的理论根据就是 中心极限定理 2 N 蒙特卡罗 Monte Carlo 方法 或称计算机随机模拟方法 是一种基于 随机数 的计 算方法 这一方法源于美国在第一次世界大战间研制原子弹的 曼哈顿计划 该计划的主 持人之一 数学家冯 诺伊曼用驰名世界的赌城 摩纳哥的Monte Carlo 来命名这种方法 为它蒙上了一层神秘色彩 Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用 早在 17 世纪 人们就知 道用事件发生的 频率 来决定事件的 概率 19 世纪人们用投针试验的方法来决定圆 周率 二十世纪 40 年代电子计算机的出现 特别是近年来高速电子计算机的出现 使得 用数学方法在计算机上大量 快速地模拟这样的试验成为可能 考虑平面上的一个边长为 1 的正方形及其内部的一个形状不规则的 图形 如何求出 这个 图形 的面积呢 Monte Carlo方法是这样一种 随机化 的方法 向该正方形 随 机地 投掷个点有NM个点落于 图形 内 则该 图形 的面积近似为 NM 可用民意测验来作一个不严格的比喻 民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见 而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者 其基本思想是一样的 科技计算中的问题比这要复杂得多 比如金融衍生产品 期权 期货 掉期等 的定价 及交易风险估算 问题的维数 即变量的个数 可能高达数百甚至数千 对这类问题 难度 随维数的增加呈指数增长 这就是所谓的 维数的灾难 Course Dimensionality 传统的 数值方法难以对付 即使使用速度最快的计算机 Monte Carlo方法能很好地用来对付维 数的灾难 因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数 以前那些本来是无法计算的问题现在 也能够计算 为提高方法的效率 科学家们提出了许多所谓的 方差缩减 技巧 另一类形式与Monte Carlo方法相似 但理论基础不同的方法 拟蒙特卡罗方 法 Quasi Monte Carlo方法 近年来也获得迅速发展 我国数学家华罗庚 王元提出的 2 华 王 方法即是其中的一例 这种方法的基本思想是 用确定性的超均匀分布序列 数 学上称为Low Discrepancy Sequences 代替Monte Carlo方法中的随机数序列 对某些问题该 方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍 并可计算精确度 评注 评注 1 理论依据 利用二维随机变量的联合分布计算相关的概率 与 有关 据此进行模拟求出 的近 似值 根据中心极限定理模拟正态分布的随机数 2 应用与推广 建立一个与我们感兴趣的量 这里是 有关的概率模型 然后设计适当的随机试验 通过实验的结果来确定这个量 依照这样的思路 利用计算机技术