理论力学11—动量矩定理

第十一章 动量矩定理 11动量矩定理 由静力学力系简化理论知 由刚体平面运动理论知 若将简化中心和基点取在质心上 则动量定理 质心运动定理 描述了刚体随同质心的运动的变化和外力系主矢的关系 刚体绕质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将由本章的动量矩定理给出 引言 平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶 此力等于平面力系的主矢 此力偶等于平面力系对简化中心的主矩 刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动 它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面 1质点的动量矩 质点Q的动量对于点O的矩 定义为质点对于点O的动量矩 Mz mv 质点动量mv在oxy平面内的投影 mv xy对于点O的矩 11 1质点和质点系的动量矩 定义为质点动量对于z轴的矩 简称对于z轴的动量矩 是代数量 是矢量 类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系 质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影 等于对z的动量矩 在国际单位制中 动量矩的单位是kg m2 s MO mv z Mz mv 11 1质点和质点系的动量矩 11 1质点和质点系的动量矩 质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和 2质点系的动量矩 LO MO mv 质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴z的动量矩的代数和 Lz Mz mv 质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影 等于质点系对该轴z的动量矩 LO z Lz 11 1质点和质点系的动量矩 3平动刚体的动量矩 刚体平动时 可将全部质量集中于质心 作为一个质点计算其动量矩 4定轴转动刚体的动量矩 令Jz miri2称为刚体对z轴的转动惯量 于是得 即 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积 11 1质点和质点系的动量矩 注意 对点的动量矩是矢量 对轴的动量矩是代数量 计算质点系相对于质心的动量矩时 无论是用绝对运动的动量 还是用相对于以质心为基点的平动坐标系的相对运动的动量 其计算结果是相同的 对质心之外的其它点 用上述两种方法计算的动量矩是不同的 必须用绝对运动中的动量来计算动量矩 例1均质圆盘可绕轴O转动 其上缠有一绳 绳下端吊一重物A 若圆盘对转轴O的转动惯量为J 半径为r 角速度为w 重物A的质量为m 并设绳与圆盘间无相对滑动 求系统对轴O的动量矩 解 LO的转向沿逆时针方向 11 1质点和质点系的动量矩 1质点的动量矩定理 设质点Q对固定点O的动量矩为MO mv 将动量矩对时间取一次导数 得 11 2动量矩定理 作用力F对同一点的矩为MO F 如图所示 因为 所以 又因为 所以 质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数 等于作用力对同一点的矩 11 2动量矩定理 将上式投影在直角坐标轴上 并将对点的动量矩与对轴的动量矩的关系代入 得 质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于质点所受的力对同一轴的矩 11 2动量矩定理 例2图示为一单摆 数学摆 摆锤质量为m 摆线长为l 如给摆锤以初位移或初速度 统称初扰动 它就在经过O点的铅垂平面内摆动 求此单摆在微小摆动时的运动规律 解 以摆锤为研究对象 建立如图坐标 受力如图 式中负号表示力矩的正负号恒与角坐标j的正负号相反 11 2动量矩定理 它表明力矩总是有使摆锤回到平衡位置的趋势 在任一瞬时 摆锤的速度为v 摆的偏角为j 则 11 2动量矩定理 由 即 这就是单摆的运动微分方程 此微分方程的解为 其中A和 为积分常数 取决于初始条件 显然 周期只与l有关 而与初始条件无关 得 可见单摆的微幅摆动为简谐运动 摆动的周期为 当j很小时 sinj j 摆作微摆动 于是上式变为 设质点系内有n个质点 作用于每个质点的力分为外力Fi e 和内力Fi i 这样的方程共有n个 相加后得 由于内力总是成对出现 因此上式右端的第二项 11 2动量矩定理 由质点的动量矩定理有 2质点系的动量矩定理 上式左端为 于是得 质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数 等于作用于质点系的外力对于同一点之矩的矢量和 11 2动量矩定理 11 2动量矩定理 在应用质点系的动量矩定理时 取投影式 质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数 等于作用于质点系的外力对于同一轴之矩的代数和 11 2动量矩定理 3动量矩守恒定律 如果作用在质点系上的力对某定点之矩恒等于零 则质点系对该点的动量矩保持不变 则 当外力对于某定点 或某定轴 的主矩等于零时 质点系对于该点 或该轴 的动量矩守恒 由上式可知 质点系的内力不能改变质点系的动量矩 如果作用在质点系上的力对某定轴之矩恒等于零 则质点系对该轴的动量矩保持不变 则 这就是质点系动量矩守恒定律 11 2动量矩定理 注意 1 内力不能改变质点系对定点或对质心的动量矩 只有外力矩才能使之改变 2 动量矩定理仅仅对定点 或定轴 及质心 或质心轴 成立 对一般的动点或动轴通常是不成立的 在应用动量矩定理时一定要注意这一点 3 这里所称的质心轴Cx Cy Cz 均是指以质心为基点的平动坐标轴 11 2动量矩定理 例3高炉运送矿石的卷扬机如图 已知鼓轮的半径为R 质量为m1 绕O轴转动 小车和矿石的总质量为m2 作用在鼓轮上的力偶矩为M 鼓轮对转轴的转动惯量为J 轨道倾角为 设绳质量和各处摩擦不计 求小车的加速度a 解 以系统为研究对象 受力如图 以顺时针为正 则 分析 小车的速度对时间的一阶导数等于加速度 利用动量矩定理可求出小车速度的表达式 11 2动量矩定理 因 于是解得 若M m2gRsin 则a 0 小车的加速度沿轨道向上 必须强调的是 为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调 动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致 由 有 11 2动量矩定理 例4水平杆AB长2a 可绕铅垂轴z转动 其两端各用铰链与长为l的杆AC及BD相连 杆端各联结质量为m的小球C和D 起初两小球用细线相连 使杆AC与BD均为铅垂 系统绕z轴的角速度为 0 如某时此细线拉断 杆AC和BD各与铅垂线成 角 不计各杆的质量 求这时系统的角速度 分析 系统所受外力对z轴之矩均为零 故不能使用动量矩定理 但正因为系统所受外力对z轴之矩均为零 故应使用动量矩守恒定理 所以动量矩守恒 11 2动量矩定理 显然 此时的角速度w w0 解 以系统为研究对象 系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反力 这些力对转轴之矩都等于零 所以系统对转轴的动量矩守恒 即 11 2动量矩定理 解 取系统为研究对象 系统对O点的动量矩为 例5均质圆轮半径为R 质量为m 圆轮对转轴的转动惯量为JO 圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动 已知重物重量为W 求重物下落的加速度 分析 重物下落的加速度等于速度对时间的一阶导数 因为 重物对O点有力矩 也有动量矩 圆轮的动量矩可求 所以可用动量矩定理求解 11 2动量矩定理 系统外力对O点之矩为 将系统的动量矩表达式和外力对O点之矩表达式代入动量矩定理 得 所以 所以 11 2动量矩定理 例6一绳跨过定滑轮 其一端吊有质量为m的重物A 另一端有一质量为m的人以速度u相对细绳向上爬 若滑轮半径为r 质量不计 并且开始时系统静止 求人的速度 解 以系统为研究对象 受力如图 设重物A上升的速度为v 则人的绝对速度va的大小为 由于 MO F e 0 且系统初始静止 所以LO 0 11 2动量矩定理 由上可知 人与重物A具有相同的的速度 如果开始时 人与重物A位于同一高度 此速度等于人相对绳的速度的一半 则不论人以多大的相对速度爬绳 人与重物A将始终保持相同的高度 11 3刚体绕定轴转动的转动微分方程 设刚体绕定轴z以角速度w转动 刚体受有主动力和轴承约束反力 或 则Lz Jzw 如不计摩擦 则由质点系动量矩定理得 11 3刚体绕定轴转动的转动微分方程 刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积 等于作用于刚体上的主动力对该轴之矩的代数和 第一类基本问题 已知质点系的运动 求作用在质点上的力矩 第二类基本问题 已知作用在质点系上的力矩 求质点系的运动 以上各式均称为刚体绕定轴转动的微分方程 应用刚体定轴转动的微分方程可以解决动力学两类问题 这类问题其实质可归结为数学上的求导问题 这类问题其实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题 11 3刚体绕定轴转动的转动微分方程 例8如图所示 已知滑轮半径为R 转动惯量为J 带动滑轮的皮带拉力为F1和F2 求滑轮的角加速度 解 由刚体定轴转动的微分方程 于是得 由上式可见 只有当定滑轮匀速转动 包括静止 或虽非匀速转动 但可忽略滑轮的转动惯量时 跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的 例9图示物理摆的质量为m C为其质心 摆对转轴的转动惯量为JO 求微小摆动的周期 分析 要求摆动周期 需要求出此物理摆的运动方程 解 设 角以逆时针方向为正 当微摆动时 有sinj j 故方程写为 11 3刚体绕定轴转动的转动微分方程 而运动方程 要通过求解其定轴转动的运动微分方程得到 当 角为正时 重力对O点之矩为负 由刚体定轴转动的微分方程 有 这就表明 此方程通解为 j0为角振幅 则 11 3刚体绕定轴转动的转动微分方程 摆动周期为 a为初相位 它们均由初始条件确定 如已知某物体的质量和质心位置 并将物体悬挂于O点作微幅摆动 测出摆动周期后即可计算出此物体对于O轴的转动惯量 例10如图 飞轮对转轴的转动惯量为J 以初角速度 0绕水平轴转动 其阻力矩M aw a为常数 求经过多长时间 角速度降至初角速度的一半 在此时间内共转多少转 解 以飞轮为研究对象 由刚体定轴转动的微分方程 有 将 1 式变换 有 将上式求定积分 得 11 3刚体绕定轴转动的转动微分方程 11 3刚体绕定轴转动的转动微分方程 将 1 式改写为 即 将上式求定积分 得 转过的角度为 因此转过的转数 11 3刚体绕定轴转动的转动微分方程 例11如图所示 啮合齿轮各绕定轴O1 O2转动 其半径分别为r1 r2 质量分别为m1 m2 转动惯量分别为J1 J2 今在轮O1上作用一力矩M 求其角加速度 解 分别以两轮为研究对象 受力如图 由运动学关系 得 注意到 联立求解以上三式得 由刚体定轴转动的微分方程 有 11 3刚体绕定轴转动的转动微分方程 解除约束前 FOx FOy 例题12关于突然解除约束问题 FOx 0 FOy mg 2 突然解除约束瞬时 11 3刚体绕定轴转动的转动微分方程 突然解除约束瞬时 解 应用定轴转动微分方程 应用质心运动定理得 分析 杆绕O轴的转动惯量为 杆OA将绕O轴转动 不再是静力学问题 这时 0 0 需要先求出 再确定约束力 由前知 刚体对轴z的转动惯量定义为 对于质量连续分布的刚体 上式可写成积分形式 由定义可知 转动惯量不仅与质量有关 而且与质量的分布有关 在国际单位制中 转动惯量的单位是 kg m2 同一刚体对不同轴的转动惯量是不同的 11 4刚体对轴的转动惯量 刚体上所有质点的质量与该质点到轴z的垂直距离的平方乘积的算术和 即 而它对某定轴的转动惯量却是常数 因此在谈及转动惯量时 必须指明它是对哪一轴的转动惯量 1 均质细杆 设均质细杆长l 质量为m 11 4刚体对轴的转动惯量 1简单形状物体的转动惯量 取微段dx 则 2 均质薄圆环对于中心轴的转动惯量 设细圆环的质量为m 半径为R 3 均质圆板对于中心轴的转动惯量 设圆板的质量为m 半径为R 将圆板分为无数同心的薄圆环 任一圆环的质量为dm 2 rdr 11 4刚体对轴的转动惯量 m R2 则 于是圆板转动惯量为 11 4刚体对轴的转动惯量 在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量 其定义为 如果已知回转半径 则物体的转动惯量为 回转半径的几何意义是 对于几何形状相同的均质物体 其回转半径相同 2回转半径 惯性半径 假想地将物体的质量集中到一点处 并保持物体对轴的转动惯量不变 则该点到轴的距离就等于回转半径的长度 11 4刚体对轴的转动惯量 刚体对于任一轴的转动惯量 等于刚体对于通过质心 并与该轴平行的轴的转动惯量 加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积 证明 因 3平行轴定理 即 由质心坐标公式 由定理可知 当坐标原点取在质心C时 11 4刚体对轴的转动惯量 yC 0 于是得 又有Smi m Smiyi 0 刚体对于所有平行轴的转动惯量 过质心轴的转动惯量最小 例13如图所示 已知均质杆的质量为m 对z1轴的转动惯量为J1 求杆对z2的转动惯量J2 解 由 得 1 2 得 11 4刚体对轴的转动惯量 11 4刚体对轴的转动惯量 例14均质直角折杆尺寸如图 其质量为3m 求其对轴O的转动惯量 解 思考 例15如图所示 质量为m的均质空心圆柱体外径为R1 内径为R2 求对中心轴z的转动惯量 解 空心圆柱可看成由两个实心圆柱体组成 设m1 m2分别为外 内圆柱体的质量 则 于是 11 4刚体对轴的转动惯量 外圆柱体的转动惯量为J外 内圆柱体的转动惯量为J内取负值 即 设单位体积的质量为 代入前式得 注意到rpl R21 R22 m 11 4刚体对轴的转动惯量 则 则得 如图所示 O为固定点 C为质点系的质心 对于任一质点mi 于是 由于 11 5质点系相对于质心的动量矩定理 质点系对于固定点O的动量矩为 它是质点系相对于质心的动量矩 即 质点系对任一点O的动量矩等于集中于质心的系统动量mvC对于O点的动量矩与此系统对于质心的动量矩LC的矢量和 质点系对于固定点O的动量矩定理可写成 令 11 5质点系相对于质心的动量矩定理 于是得 展开上式 因为 于是上式成为 11 5质点系相对于质心的动量矩定理 注意右端项中ri rC ri 于是上式化为 所以 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数 等于作用于质点系的外力对质心的主矩 上式右端是外力对质心的主矩 于是得 11 5质点系相对于质心的动量矩定理 例16均质圆盘质量为2m 半径为r 细杆OA质量为m 长为l 3r 绕轴O转动的角速度为w 求下列三种情况下系统对轴O的动量矩 a 圆盘与杆固结 b 圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w逆时针方向转动 c 圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w顺时针方向转动 习题11 2 解 a 11 5质点系相对于质心的动量矩定理 b 圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w逆时针方向转动 11 5质点系相对于质心的动量矩定理 c 圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w顺时针方向转动 11 5质点系相对于质心的动量矩定理 由刚体平面运动理论知 平面运动刚体的位置可由基点的位置与刚体绕基点的转角确定 JC为刚体过质心且垂直于图示平面轴的转动惯量 取质心为基点 如图所示 则刚体的位置可由质心坐标和j角确定 刚体的运动可分解为随同质心的平动和相对质心的转动两部分 取如图动坐标系 则刚体绕质心的动量矩为 11 6刚体的平面运动微分方程 设作用在刚体上的外力可向质心所在的运动平面简化为一平面力系 由质心运动定理和相对质心的动量矩定理得 上式也可写成 11 6刚体的平面运动微分方程 11 6刚体的平面运动微分方程 以上两式称为刚体平面运动微分方程 应用时 前一式取其投影式 即 11 6刚体的平面运动微分方程 例17一均质圆柱 质量为m 半径为r 无初速地放在倾角为q的斜面上 不计滚动阻力 求其质心的加速度 解 以圆柱体为研究对象 1 设接触处完全光滑 此时圆柱作平动 由质心运动定理 即 得圆柱质心的加速度 圆柱体在斜面上的运动形式 取决于接触处的光滑程度 下面分三种情况进行讨论 2 设接触处足够粗糙此时圆柱作纯滚动 受力如图 解得 由于圆柱作纯滚动 故 由纯滚动条件有 所以 可得 这就是圆柱体在斜面上作纯滚动的条件 11 6刚体的平面运动微分方程 列出平面运动微分方程 3 设不满足圆柱体在斜面上作纯滚动的条件 设圆柱体沿斜面滑动的动摩擦系数为f 则滑动摩擦力 由于 圆柱体在斜面上既滚动又滑动 在这种情况下 aC ra 于是 11 6刚体的平面运动微分方程 11 6刚体的平面运动微分方程 例18均质圆柱体A和B质量均为m 半径均为r 圆柱A可绕固定轴O转动 一绳绕在圆柱A上 绳的另一端绕在圆柱B上 求B下落时 质心C点的加速度 摩擦不计 习题11 28第一问 解 取A为研究对象 受力如图 其中 取B为研究对象 受力如图 由运动学关系aD raA 而由加速度合成定理有 A作定轴转动 应用定轴转动的微分方程有 B作平面运动 应用平面运动的微分方程有 例19均质杆质量为m 长为l 在铅直平面内一端沿着水平地面 另一端沿着铅垂墙壁 从图示位置无初速地滑下 不计摩擦 求开始滑动的瞬时 地面和墙壁对杆的约束反力 解 以杆AB为研究对象 分析受力 杆作平面运动 设质心C的加速度为aCx aCy 角加速度为 由刚体平面运动微分方程 11 6刚体的平面运动微分方程 以C点为基点 则A点的加速度为 再以C点为基点 则B点的加速度为 11 6刚体的平面运动微分