数值分析最终作业.doc

西南交通大学硕士研究生数值分析上机试题 第 14 页第1章 题目2. 某过程测涉及两变量x 和y, 拟分别用插值多项式和多项式拟合给出其对应规律的近似多项式，已知xi与yi之间的对应数据如下，xi=1,2,10yi = 34.6588 40.3719 14.6448 -14.2721 -13.3570 24.8234 75.2795 103.5743 97.4847 78.2392（1）请用次数分别为3，4，5，6的多项式拟合并给出最好近似结果f(x)。（2）请用插值多项式给出最好近似结果下列数据为另外的对照记录，它们可以作为近似函数的评价参考数据。xi = Columns 1 through 7 1.5000 1.9000 2.3000 2.7000 3.1000 3.5000 3.9000 Columns 8 through 14 4.3000 4.7000 5.1000 5.5000 5.9000 6.3000 6.7000 Columns 15 through 17 7.1000 7.5000 7.9000yi = Columns 1 through 7 42.1498 41.4620 35.1182 24.3852 11.2732 -1.7813 -12.3006 Columns 8 through 14 -18.1566 -17.9069 -11.0226 2.0284 19.8549 40.3626 61.0840 Columns 15 through 17 79.5688 93.7700 102.36773用雅格比法与高斯赛德尔迭代法解下列方程组Ax=b，研究其收敛性，上机验证理论分析是否正确，比较它们的收敛速度，观察右端项对迭代收敛有无影响。(1)A行分别为A1=6,2,-1,A2=1,4,-2,A3=-3,1,4； b1=-3,2,4T, b2=100,-200,345T,(2) A行分别为A1=1,0,8,0.8,A2=0.8,1,0.8,A3=0.8,0.8,1；b1=3,2,1 T, b2=5,0,-10T,(3)A行分别为A1=1,3,A2=-7,1；b=4,6T,第2章 计算过程2.1 第二题解:（1）设拟合模型为利用matlab编程，程序见附录1.1最终计算机运行结果见附录2.1由于多项式拟合中，多项式的阶数越大，拟合的精度越高，所以，6次多项式为最好的近似结果为：（2）解：由题意知，x，y的十个已知点，现给出另外17个x值，利用编程求出对应这17个点的y值。本文采用三次样条插值法，Matlab编程见附录1.2最终计算结果见附录2.2通过与题中所给数据对比来看，所得结果计算差别不大。2.2 第三题解：当b1=时，用雅阁比法结合matlab编程计算。首先要编写雅阁比与高斯-赛德尔迭代法的自定义函数，然后通过调用此函数来解题。雅阁比自定义函数程序见附录1.3。高斯-赛德尔迭代法自定义函数见附录1.4。完成后，把以上程序保存成m文件，以备调用。现对本题中的三个小题分别利用雅阁比法进行计算, 选取x(0) =，迭代10 次。精度选。（1） 首先用雅阁比法进行计算，当b1=时，程序见附录1.5。当b2=时，程序见附录1.6。通过计算机计算，当为b1时，见附录2.3，当为b2时，见附录2.4。现在用高斯-赛德尔法进行计算：当b1=时，程序见附录1.7，当b2=时，程序见附录1.8。通过计算，当b1=时，计算结果见附录2.5，当为b2时，所得结果见附录2.6。通过以上对比，为表达清楚，现将总结如下：用雅阁比法计算b1、b2结果如下：=-0.726719 0.809460 0.251958=36.426331 -2.015201 114.049096用高斯-赛德尔法计算结果如下：=-0.727247 0.808074 0.252546=36.363673 -2.075136 114.041539通过以上计算分析，由结果来看，他们的收敛性都比较好，理论分析正确，但是从过程来看，通过对b1、b2本身的对比，高斯-赛德尔法的收敛速度要快于雅阁比法，基本上在第五六次迭代过程中，高斯-赛德尔法就已经很接近真实值，而雅阁比法在第七八次迭代过程中才基本接近真实值。将b1与b2进行对比后得出，在相同计算方法的前提下，右端项对迭代收敛有一定的影响，b2的收敛性要差于b1的收敛性。（2） 仿照（1）中的计算步骤，先对其进行雅阁比法计算，b1=时，程序见附录1.9，b2=时，程序见附录1.10。运算结果，当为b1时，见附录2.7，当为b2时，见附录2.8。现对其进行高斯-赛德尔迭代法计算，当b1=3,2,1时，程序见附录1.11，当b2=5,0,-10时，程序见附录1.12。运算结果，当为b1时，见附录2.9，当为b2时，见附录2.10。通过以上对比，为表达清楚，现将总结如下：由以上方法得出，当用雅阁比法进行计算时，无论取b1还是b2，都没有收敛性，所得数据过于离散。雅阁比法在本题失效（原因是本题给出的行列式无法满足雅阁比迭代收敛的条件：A既不是行对角占优矩阵也不是列对角占优矩阵，同时）。但是用高斯-赛德尔法可以取得较好的收敛性。等式右端项对迭代收敛性没有什么明显的影响。（3） 同样，由（1）题的计算方法，先用雅阁比进行计算，程序见附录1.13，运行结果见附录2.11。再用高斯-赛德尔迭代法进行计算，程序见附录1.14，运行结果见附录2.12。 由此可得，对于本小题而言，无论是雅阁比法还是高斯-赛德尔法都已经失效，无法得到收敛的数列。因为此题给出的行列式无法满足雅阁比法与高斯-赛德尔迭代法所给出的收敛条件。A既不是行对角占优矩阵，也不是列对角占优矩阵，且。不满足其充要条件。所以不能用这两种方法计算 附录1.1X=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Y=34.6588 40.3719 14.6448 -14.2721 -13.3570 24.8234 75.2795 103.5743 97.4847 78.2392P3=polyfit(X, Y,3)P4=polyfit(X, Y,4)P5=polyfit(X, Y,5)P6=polyfit(X, Y,6)附录1.2X=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Y=34.6588 40.3719 14.6448 -14.2721 -13.3570 24.8234 75.2795 103.5743 97.4847 78.2392Xi=1.5 1.9 2.3 2.7 3.1 3.5 3.9 4.3 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.7 7.1 7.5 7.9Yi= interp1(X, Y, Xi,spline)附录1.3function tx=jacobi(A,b,imax,x0,tol) del=10-10; tx=x0 ; n=length(x0);for i=1:ndg=A(i,i);if abs(dg) deldisp(diagonal element is too small);returnendendfor k = 1:imax for i = 1:nsm=b(i) ;for j = 1:nif j=ism = sm -A(i,j)*x0(j) ;endend %for jx(i)=sm/A(i,i) ; endtx=tx ;x ; if norm(x-x0)tolreturnelsex0=x ;endend附录1.4function tx= gseidel( A,b,imax,x0,tol)del=10-10;tx=x0; n=length(x0);for i=1:ndg=A(i,i);if abs(dg) deldisp(diagonal element is too small);returnendendfor k = 1:imax x=x0;for i = 1:nsm=b(i);for j = 1:nif j=ism = sm -A(i,j)*x(j);endendx(i)=sm/A(i,i);endtx=tx;x; if norm(x-x0)tolreturnelsex0=x;endend附录1.5A=6 2 -1;1 4 -2;-3 1 4;b=-3 2 4;tol=1.0*10-6 ; imax =10; x0= zeros(1,3); tx=jacobi(A,b,imax,x0,tol) ;for j=1:size(tx,1)fprintf(%d %f %f %fn, j, tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3)end附录1.6A=6 2 -1;1 4 -2;-3 1 4;b=100,-200,345;tol=1.0*10-6 ; imax =10; x0= zeros(1,3); tx=jacobi(A,b,imax,x0,tol) ;for j=1:size(tx,1)fprintf(%d %f %f %fn, j, tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3)end附录1.7A=6 2 -1;1 4 -2;-3 1 4;b=-3 2 4;tol=1.0*10-6 ; imax =10; x0= zeros(1,3); tx= gseidel (A,b,imax,x0,tol) ;for j=1:size(tx,1)fprintf(%d %f %f %fn, j, tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3)end附录1.8A=6 2 -1;1 4 -2;-3 1 4;b=100,-200,345;tol=1.0*10-6 ; imax =10; x0= zeros(1,3); tx= gseidel (A,b,imax,x0,tol) ;for j=1:size(tx,1)fprintf(%d %f %f %fn, j, tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3)end附录1.9A=1 0.8 0.8;0.8 1 0.8;0.8 0.8 1;b=3 2 1;tol=1.0*10-6 ; imax =10; x0= zeros(1,3); tx=jacobi(A,b,imax,x0,tol) ;for j=1:size(tx,1)fprintf(%d %f %f %fn, j, tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3)end附录1.10A=1 0.8 0.8;0.8 1 0.8;0.8 0.8 1;b=5 0 -10;tol=1.0*10-6 ; imax =10; x0= zeros(1,3); tx=jacobi(A,b,imax,x0,tol) ;for j=1:size(tx,1)fprintf(%d %f %f %fn, j, tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3)end附录1.11A=1 0.8 0.8;0.8 1 0.8;0.8 0.8 1;b=3 2 1;tol=1.0*10-6 ; imax =10; x0= zeros(1,3); tx= gseidel (A,b,imax,x0,tol) ;for j=1:size(tx,1)fprintf(%d %f %f %fn, j, tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3)end附录1.12A=1 0.8 0.8;0.8 1 0.8;0.8 0.8 1;b=5 0 -10;tol=1.0*10-6 ; imax =10; x0= zeros(1,3); tx= gseidel (A,b,imax,x0,tol) ;for j=1:size(tx,1)fprintf(%d %f %f %fn, j, tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3)end附录1.13A=1 3;-7 1;b=4 6;tol=1.0*10-6 ; imax =10; x0= zeros(1,2); tx=jacobi(A,b,imax,x0,tol) ;for j=1:size(tx,1)fprintf(%d %f %fn, j, tx(j,1),tx(j,2)end附录1.14A=1 3;-7 1;b=4 6;tol=1.0*10-6 ; imax =10; x0= zeros(1,2); tx= gseidel (A,b,imax,x0,tol) ;for j=1:size(tx,1)fprintf(%d %f %fn, j, tx(j,1),tx(j,2)end附录2.1P3 = -1.0326 19.3339 -94.4787 131.7944P4 = -0.3818 7.3680 -42.1433 73.5334 0.7450P5 = 0.0981 -3.0789 34.5020 -163.5107 304.7282 -139.5019P6 = 0.0194 -0.5408 5.1137 -16.8973 -0.8670 66.3750 -18.6991附录2.2Yi = Columns 1 through 11 43.0510 41.6393 34.7861 24.1356 11.3345 -1.6605 -12.2916 -18.0792 -17.8286 -11.0129 2.1296 Columns 12 through 17 19.8846 40.3192 61.0680 79.5479 93.6798 102.3680附录2.31 0.000000 0.000000 0.0000002 -0.500000 0.500000 1.0000003 -0.500000 1.125000 0.5000004 -0.791667 0.875000 0.3437505 -0.734375 0.869792 0.1875006 -0.758681 0.777344 0.2317717 -0.720486 0.805556 0.2366548 -0.729076 0.798448 0.2582479 -0.723108 0.811392 0.25358110 -0.728201 0.807567 0.25482111 -0.726719 0.809460 0.251958附录2.41 0.000000 0.000000 0.0000002 16.666667 -50.000000 86.2500003 47.708333 -11.041667 111.2500004 38.888889 -6.302083 124.7916675 39.565972 2.673611 116.9921876 35.274161 -1.395399 115.2560767 36.341146 -1.190502 113.0544708 35.905912 -2.558051 113.8034859 36.486598 -2.074736 113.81894710 36.328070 -2.212176 114.13363211 36.426331 -2.015201 114.049096附录2.51 0.000000 0.000000 0.0000002 -0.500000 0.625000 0.4687503 -0.630208 0.891927 0.3043624 -0.746582 0.838826 0.2303575 -0.741216 0.800482 0.2439676 -0.726166 0.803525 0.2544947 -0.725426 0.808604 0.2537808 -0.727238 0.808699 0.2523979 -0.727500 0.808073 0.25235610 -0.727298 0.808003 0.25252511 -0.727247 0.808074 0.252546附录2.61 0.000000 0.000000 0.0000002 16.666667 -54.166667 112.2916673 53.437500 -7.213542 128.1315104 40.426432 3.959147 115.5800375 34.610291 -0.862554 112.4233566 35.691411 -2.711174 113.6963527 36.519783 -2.281770 114.2102808 36.462303 -2.010436 114.0993369 36.353368 -2.038674 114.02469410 36.350340 -2.075238 114.03156511 36.363673 -2.075136 114.041539附录2.71 0.000000 0.000000 0.0000002 3.000000 2.000000 1.0000003 0.600000 -1.200000 -3.0000004 6.360000 3.920000 1.4800005 -1.320000 -4.272000 -7.2240006 12.196800 8.835200 5.4736007 -8.447040 -12.136320 -15.8256008 25.369536 21.418112 17.4666889 -28.107840 -32.268979 -36.43011810 57.959278 53.630367 49.30145511 -79.345458 -83.808587 -88.271716附录2.81 0.000000 0.000000 0.0000002 5.000000 0.000000 -10.0000003 13.000000 4.000000 -14.0000004 13.000000 0.800000 -23.6000005 23.240000 8.480000 -21.0400006 15.048000 -1.760000 -35.3760007 34.708800 16.262400 -20.6304008 8.494400 -11.262720 -50.7769609 54.631744 33.826048 -7.78534410 -15.832563 -37.477120 -80.76623411 99.594683 77.279037 32.647747附录2.91 0.000000 0.000000 0.0000002 3.000000 -0.400000 -1.0800003 4.184000 -0.483200 -1.9606404 4.955072 -0.395546 -2.6476215 5.434533 -0.229530 -3.1640036 5.714826 -0.040659 -3.5393347 5.863994 0.140272 -3.8034138 5.930513 0.298320 -3.9830669 5.947797 0.428215 -4.10081010 5.938076 0.530187 -4.17461011 5.915538 0.607258 -4.218237附录2.101 0.000000 0.000000 0.0000002 5.000000 -4.000000 -10.8000003 16.840000 -4.832000 -19.6064004 2