高考数学一轮复习 第41讲空间向量及运算精品课件 理 新人教课标A版.ppt

第41讲 空间向量及运算 第41讲空间向量及运算 第41讲 知识梳理 两两垂直 1 空间直角坐标系及有关概念 1 如图41 1 oabc d1a1b1c1是单位正方体 以o为原点 分别以oa oc od1的长为单位长度 建立三条 的数轴 x轴 y轴 z轴 则称建立了空间直角坐标系oxyz 其中点o叫做 x轴 y轴 z轴叫做 通过每两个坐标轴的平面叫做 坐标原点 坐标轴 坐标平面 2 空间一点m在空间直角坐标系中的坐标可以用有序实数组 x y z 表示 记作m x y z 其中x叫做点m的 y叫做点m的 z叫做点m的 横坐标 纵坐标 竖坐标 第41讲 知识梳理 2 空间向量的概念及运算空间向量的概念及运算同平面向量基本相同 加减运算遵循 数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同 坐标运算与平面向量的坐标运算类似 仅多出了一个竖坐标 3 空间向量的数量积及运算律 1 定义已知两个非零向量a b 在空间任取一点o 作 a b 则 aob叫做向量a b的夹角 记作 已知两个非零向量a b 则 a b cos a b 叫做a b的 记作a b 即 a b cos a b 三角形法则或平行四边形法则 数量积 a b 第41讲 知识梳理 p xa yb zc 基底 基向量 第41讲 知识梳理 2 空间向量的正交分解如果i j k是空间三个两两垂直的向量 那么 对空间任一向量p 存在一个有序实数组 x y z 使得p xi yj zk 我们称xi yj zk为向量p在i j k上的 3 空间向量的坐标设e1 e2 e3为有公共起点o的三个两两垂直的单位向量 我们称它们为单位正交基底 对于空间任一向量p 存在有序数组 x y z 使得p xe1 ye2 ze3 我们把x y z称作向量p在单位正交基底e1 e2 e3下的坐标 记作 此时向量p的坐标恰是点p在空间直角坐标系oxyz中的坐标 分向量 p x y z x y z 第41讲 知识梳理 5 空间向量的坐标表示及应用 1 空间向量运算的坐标表示设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a a1 a2 a3 a b a1b1 a2b2 a3b3 2 重要结论a b a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 r b 0 第41讲 知识梳理 第41讲 知识梳理 探究点1空间向量的线性运算 第41讲 要点探究 图41 2 第41讲 要点探究 第41讲 要点探究 点评 本题要解决的是空间问题 但所用的则是平面向量的知识 将空间问题分解为几个平面问题 并在各个平面内分别使用平面向量知识 综合起来达到解决问题的目的 这是用向量知识解决空间问题的基本思路之一 另外 注意到用一组基向量表示空间向量的唯一性 可利用其确定未知参数 如下面的变式题 第41讲 要点探究 变式题 第41讲 要点探究 图41 3 第41讲 要点探究 第41讲 要点探究 变式题 第41讲 要点探究 探究点2空间直角坐标系的建立 例2已知直三棱柱abc a1b1c1中 bac 90 ab ac aa1 2 m为bc1的中点 n为a1b1的中点 求 mn 第41讲 要点探究 第41讲 要点探究 变式题 如图41 4所示 在正四棱锥p abcd中 底面边长和侧棱长都为2 点e在侧棱pc上 点f在底面abcd的对角线bd上 试求e f两点间的最短距离 图41 4 第41讲 要点探究 第41讲 要点探究 变式题 第41讲 要点探究 探究点3空间向量的坐标运算 例3 1 已知向量a 2 1 3 求向量b 使得b a 且 b 3 a 2 已知向量a 2 1 3 b 1 2 1 若 ka b a 3b 求k 第41讲 要点探究 第41讲 要点探究 变式题 第41讲 要点探究 第41讲 要点探究 变式题 探究点4空间向量的数量积 图41 5 第41讲 要点探究 第41讲 要点探究 第41讲 规律总结 1 空间向量的概念及其运算是从平面向量中延伸过来的 要通过类比的方法来掌握 在进行空间向量的线性运算时可以沿用平面向量线性运算的方法 空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算相似 只是多出一个坐标 与平面向量的坐标运算作一些对比 可以较容易地掌握空间向量的坐标运算问题 2 用已知向量表示未知向量 以及进行向量表达式的化简时 一定要注意结合实际图形 以图形为指导是解题的关键 同时注意首尾相接的向量和向量的化简方法 以及从同一个点出发的两个向量的差向量的运算法则 避免出现方向错误 第41讲 规律总结 3 利用向量解立体几何题的一般方法 把线段或角度转化为用向量表示 用已知向量表示未知向量 然后通过向量的运算或证明去解决问题 在这里 恰当地选取基底可使向量运算简捷 或者是建立空间直角坐标系 使立体几何问题成为代数问题 在这里 熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础 4 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量的共线定理 解决两点间距离或某一线段的长度 一般用向量的模来解决 求异面直线的夹角 一般可以转化为两向量的夹角 但要注意两种角的范围不同 应注意转化 解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零 第41讲 规律总结 5 空间中