龙贝格求积公式

1 使用复化梯形公式 Simpson公式 首先要确定步长 2 而步长要根据余项确定 这就涉及到高阶导数的估计 3 高阶导数的估计一般比较困难 且估计值往往偏大 4 计算机上实现起来不方便 通常采用 事后估计法 三 积分步长的自动选取 注意事项 基本思想 将积分区间逐次分半 终止法则 前后两次近似值的误差小于已知精度 具体过程 以复化梯形公式为例 1 首先将区间n等分 2 再将区间2n等分 即步长减半 上述条件满足 程序终止 否则 继续分半计算 3 终止条件 由复化梯形公式的余项知 由此得到近似关系式 误差控制条件 对于复化Simpson公式 Cotes公式可以类似得到 对于复化梯形公式 加速收敛 应用步长逐次减半得到的复化梯形值 复化Simpson值 复化Cotes值与精确值的比较 Romberg积分法 RombergIntegrationMethod Romberg积分思想 由上节分析知 用复化梯形公式计算积分值 的误差大约为 令 由复化梯形公式知 梯形加速公式 上述公式说明 Romberg积分公式正是由此思想产生 Romberg值序列 Simpson加速公式 Cotes加速公式 类似于梯形加速公式的处理方法 得到 通过上述3个积分值序列求积分近似值的方法 称之为Romberg积分法 4个积分值序列 梯形值序列 Simpson值序列 Romberg值序列 Cotes值序列 Romberg积分法的一般公式 其中 Romberg积分表 用龙贝格方法计算积分的步骤为 1 准备初值 先用梯形公式计算积分近似值 2 按变步长梯形公式计算积分近似值 令计算 3 按加速公式求积分 为便于编程 写为下列形式 梯形加速 辛普生加速 柯特斯加速 4 精度控制当时终止计算并取为近似值 否则 将步长折半 转 2 执行 实际计算时的加工流程图7 4 1示 例7 4 2用龙贝格算法加工例7 4 1得到的近似值解 用算法图7 4 2计算结果见表7 4 1 表中k表示二分次数 例3 利用Romberg积分法式计算积分要求精确到小数点后面7位 解 根据Romberg积分法计算得 具体结果见下表 例3 取e 0 00001 用龙贝格方法计算积分 解 由题意f x 4 1 x2 a 0b 1f 0 4f 1 2由梯形公式得T1 1 2 f 0 f 1 3计算f 1 2 16 5用变步长梯形公式得T2 1 2 T1 f 1 2 3 1由加速公式得S1 1 3 4T2 T1 3 133333333 求出f 1 4 f 3 4 进而求得T4 1 2 T2 1 2 f 1 4 f 3 4 3 131176471S2 1 3 4T4 T2 3 141568628C1 1 15 16S2 S1 3 142117648计算f 1 8 f 3 8 f 5 8 f 7 8 进而求得T8 1 2 T4 1 4 f 1 8 f 3 8 f 5 8 f 7 8 3 138988495S4 1 3 4T3 T4 3 141592503C2 1 15 16S4 S2 3 141594095R1 1 63 64C2 C1 3 141585784 把区间再二分 重复上述步骤算得T16 3 140941613S8 3 1