一维非稳态导热.doc

一块无限大平板 如图 3 所示 其一半厚度为 L 0 1m 初始温度 T0 1000 突 然将其插入温度 T 20 的流体介质中 平板的导热系数 34 89W m 密度 7800kg m3 比热 c 0 712J kg 平板与介质的对流换热系数为 h 233W m2 求 3 10 平板内各点的温度分布 3 1数学描述数学描述 由于平板换热关于中心线是对称的 仅对平板一半区域进行计算即可 坐标 x 的原点 选在平板中心线上 因而一半区域的非稳态导热的数学描述为 TTh x T Lx x T x TT x T a T 0 0 0 0 2 2 该数学模型的解析解为 3 0 2 cos cossin sin2 1 0 F n n nnn n n e L x TTTT 5 其中 为方程的根 2 0 L a F n i Bctg hL Bi 表 3 给出了在平板表面 x L 处由式 3 5 计算得到的不同时刻的温度值 表 3平板表面各不同时刻温度值 时 间 S 12345678910 温 度 981 84974 47968 88964 20960 11956 14953 08949 97947 07944 34 3 2数值离散数值离散 3 3 1计算区域的离散计算区域的离散 3 1 3 2 3 3 3 4 一维非稳态导热指的是空间坐标是一维的 若考虑时间坐标 则所谓的一维非稳态导 热实际上是二维问题 见图 4 即 有时间坐标 和空间坐标 X 两个变量 但要注意 时 间坐标是单向的 就是说 前一时刻的状态会对后一时刻的状态有影响 但后一时刻的状 态却影响不到前一时刻 图 4 示出了以 X 和 为坐标的计算区域的离散 时间从 0 开始 经过一个个时层增加到 K 时层和 K 1 时层 3 3 2微分方程的离散微分方程的离散 对于 i 节点 在 K 和 K 1 时刻可将微分方程 3 1 写成下面式子 1 2 2 1 2 2 K i K i K i K i x T a T x T a T 将式 3 6 3 7 的左端温度对时间的偏导数进行差分离散为 K i K i K i K i K i K i TTT TTT 11 1 观察式 3 8 和 3 9 这两个式子的右端差分式完全相同 但在两个式子中却有不同含义 对式 3 8 右端项相对 i 点在 K 时刻的导数是向前差分 而在式 3 9 中 右端项是 K i T I 点在 K 1 时刻的导数的向后差分 将式 3 8 和 3 9 分别代入式 3 6 和 3 7 并 1 K i T 将式 3 6 和 3 7 右端关于 x 的二阶导数用相应的差分代替 则可得到下列显式和隐式两种 不同的差分格式 显式 3 10 K i K i K i K i fTTffTT 11 1 21 K 0 1 2 i 2 3 N 1 3 6 3 7 3 8 3 9 全隐式 3 11 K i K i K i K i TfTfT f T 1 1 1 1 1 21 1 K 0 1 2 i 2 3 N 1 以上两式中的 2 x a f 从式 3 10 可见 其右端只涉及 K 时刻的温度 当从 K 0 即 0 时刻 开始计算时 在 K 0 时等号右端都是已知值 因而直接可计算出 K 1 时刻各点的温度 由 K 1 时刻的 各点的温度值 又可以直接利用式 3 10 计算 K 2 时刻的各点的温度 这样一个时层一个 时层的往下推 各时层的温度都能用式 3 10 直接计算出来 不要求解代数方程组 而对于 式 3 11 等号右端包含了与等号左端同一时刻但不同节点的温度 因而必须通过求解代数 方程组才能求得这些节点的温度值 3 3 3边界条件的离散边界条件的离散 对于式 3 3 和 3 4 所给出的边界条件 可以直接用差分代替微分 也可以用元体平衡 法给出相应的边界条件 亦有显式和隐式之分 通常 当内部节点采用显式时 边界节点 也用显式离散 内部节点用隐式时 边界节点亦用隐式 边界节点的差分格式是显示还是 隐式 取决于如何与内部节点的差分方程组合 用 K 1 时刻相应节点的差分 代替式 3 3 和 3 4 中的微分 可得到边界节点的差分方程 3 T xh T xh T TT K N K N KK 1 1 1 1 2 1 1 1 1 12 3 3 4最终的离散格式最终的离散格式 显式 i 1 2 3 N 初始值 3 0 TTi 13 i 2 3 N 1 3 K i K i k i K i TffTfTT21 11 1 14 3 1 2 1 1 KK TT 15 3 T xh T xh T K N K N 1 1 1 1 1 16 其中 K 0 1 2 当采用二阶精度的元体平衡法离散时 与式 3 15 和 3 16 对应的 离散格式为 fBiTfTTfBifT fTfTT k N k N K N kKK 22 221 2 21 1 1 21 1 1 其中 xh Bi 隐式 初始值 3 0 0 TTi 17 3 1 2 1 1 KK TT 18 i 2 3 N 1 3 K i K i K i K i TfTfT f T 1 1 1 1 1 21 1 19 3 T xh T xh T K N K N