高考数学一轮复习 第12讲函数模型及其应用(1)精品课件 理 新人教课标A版.ppt

第14讲 导数的应用 第14讲导数的应用 第14讲 知识梳理 1 函数的单调性若函数f x 在某区间内可导 则f x 0 f x 在该区间上 f x 0 f x 在该区间上 反之 若f x 在某区间上单调递增 则在该区间上有 恒成立 若f x 在某区间上单调递减 则在该区间上有 恒成立 2 函数的极值 1 函数极值的定义 单调 递减 单调递增 f x 0 f x 0 已知函数y f x 设x0是定义域内任一点 如果对x0附近的所有点x 都有f x f x0 则称函数f x 在点x0处取 记作 并把x0称为函数f x 的一个 如果在x0附近都有f x f x0 则称函数f x 在点x0处取 记作 并把x0称为函数f x 的一个 极大值与极小值统称 极大值点与极小值点统称为 2 求函数极值的方法 极大值 第14讲 知识梳理 y极大值 f x0 极大值点 y最小值 f x0 极小值 极小值点 极值 极值点 第1步 求导数f x 第2步 求方程f x 0的所有实数根 第3步 当f x0 0时 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 3 函数的最值 1 函数f x 在 a b 上必有最值的条件如果在区间 a b 上函数y f x 的图象 那么它必有最大值和最小值 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的 第14讲 知识梳理 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 是一条连续不断的曲线 极值 将函数y f x 的各极值与 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 4 f x m恒成立等价于 f x m恒成立等价于 5 函数f x ax3 bx2 cx d a 0 有极大值为f x1 极小值为f x2 若函数有三个零点 则 函数有两个零点 则 函数有且仅有一个零点 则 第14讲 知识梳理 端点处的函数值f a f b m f x min m f x max f x1 0 f x2 0 f x1 0或f x2 0 要点探究 第14讲 要点探究 探究点1利用导数研究函数的单调性 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 点评 1 利用导函数的性质确定函数的单调性比用函数单调性的定义要方便 它是根据导函数的正负性确定函数的单调性 2 两个单调递增区间不能 并 起来 函数的单调性是函数在某一区间内的性质 讨论函数的单调性应在函数的定义域范围内进行 第14讲 要点探究 如果函数y f x 的图象如图14 1 那么导函数y f x 的图象可能是 第14讲 要点探究 思路 由原函数的图象变化趋势是 增 减 增 减 运用 增则正 减则负 规律 即可判断导函数的图象 a 解析 由原函数的单调性可以得到导函数的正负性情况 依次是 正 负 正 负 即导函数的图象与x轴的位置应是 上 下 上 下 符合规律的只有a 点评 解决此类问题时 审题应看清已知条件是导函数还是原函数 然后用 导数的正负性决定原函数的增减性 原则进行判断 第14讲 要点探究 已知f x ex ax 1 1 求f x 的单调增区间 2 若f x 在定义域r内单调递增 求a的取值范围 3 是否存在a 使f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 思路 1 通过解f x 0求单调递增区间 2 转化为f x 0在r上恒成立问题 求a 3 假设存在a 则f 0 是f x 的极小值 或转化为恒成立问题 第14讲 要点探究 解答 1 f x ex a 若a 0 f x ex a 0恒成立 即f x 在r上递增 若a 0 ex a 0 ex a x lna f x 的递增区间为 lna 2 f x 在r内单调递增 f x 0在r上恒成立 ex a 0 即a ex在r上恒成立 a ex min 又 ex 0 a 0 3 方法一 由题意知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 ex在 0 上为增函数 x 0时 ex最大为1 a 1 同理可知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 a 1 第14讲 要点探究 综上所述 a 1 方法二 由题意知 x 0为f x 的极小值点 f 0 0 即e0 a 0 a 1 经检验a 1符合题意 点评 已知函数f x 在某区间内单调求参数问题 常转化为其导函数f x 在该区间内大于等于0 单调增函数 或小于等于0 单调减函数 恒成立问题 第14讲 要点探究 探究点2利用导数研究函数的极值与最值 例2已知a r 讨论函数f x ex x2 ax a 1 的极值点的个数 第14讲 要点探究 即此时f x 有两个极值点 2 当 0即a 0或a 4时 方程x2 a 2 x 2a 1 0有两个相同的实根x1 x2 由题易知f x 无极值 3 当 0即0 a 4时 同理可得f x 此时无极值 第14讲 要点探究 例3函数f x ax3 6ax2 b在 1 2 上的最大值为3 最小值为 29 求a b的值 解答 由题设知a 0 否则f x b为常函数 与题设矛盾 f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 得x1 0 x2 4 舍去 当a 0时 列表如下 第14讲 要点探究 由上表可知 当x 0时 f x 取得极大值 也就是函数在 1 2 上的最大值 f 0 3 即b 3 又f 1 7a 3 f 2 16a 3 f 2 f 1 x 2时函数在 1 2 上取得最小值 f 2 16a 3 29 a 2 当a 0时 同理可得b 29 a 2 综上可得 a 2 b 3或a 2 b 29 第14讲 要点探究 2010 宝鸡模拟 已知函数f x axlnx在点 e f e 处的切线与直线y 2x平行 其中e 2 71828 g x x2 tx 2 1 求函数f x 的解析式 2 求函数f x 在 n n 2 n 0 上的最小值 3 对一切x 0 e 3f x g x 恒成立 求实数t的取值范围 变式题 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 探究点3导数在方程与不等式中的应用 例4 2011 吉安模拟 已知函数f x lnx g x x2 a a为常数 若直线l与g f x 和y g x 的图象都相切 且l与y f x 的图象相切于定点p 1 f 1 1 求直线l的方程及a的值 2 当k r时 讨论关于x的方程f x2 1 g x k的实数解的个数 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 探究点4生活中的优化问题 第14讲 要点探究 第14讲 要点探究 点评 用导数求解实际问题中的最大值或最小值时 一般先设自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 然后转化为导数模型求解 第14讲 要点探究 规律总结 1 函数的单调性 极值 最值都是定义域内的局部性质 因此利用导数讨论函数的性质时 首先要研究函数的定义域 再利用导数f x 解决 2 通过判断函数定义域被导数为零的点或不可导点所划分的各区间内导数f x 的符号 来判断函数f x 在该区间上的单调性 f x 0 或f x 0 在区间 a b 上成立只是f x 在这个区间上是增函数 减函数 的充分条件 而不是必要条件 因此 由函数单调性求其所含参数的取值问题时 对于导数值为零的点需要单独验证 以免出错 当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时 由于集合的并集运算 其运算结果为一个整 第14讲 规律总结 体 因此这些单调区间一般不能用 连接 而只能用 逗号 或 和 字隔开 3 根据极值的定义 导数为0的点只是可疑点 不一定是极值点 只有在该点两侧导数的符号相反 即函数在该点两侧的单调性相反时 该点才是函数的极值点 另一方面 极值点处的导数也不一定为零 还要考查函数在该点处的导数是否存在 4 一般地 要证明不等式f x g x 在区间 上恒成立 则可构造函数h x f x g x 通过讨论h x 在区间 上的取值范围 判断出函数h x 的单调性 然后由函数h x 在区间 上的一个初始值 证得不等式成立 第14讲 规律总结 5 导数是解决生产生活中最优化问题的通性通法 利用导数求实际问题的最值的一般步骤和方法如