初三数学复习题型精选5.doc

第二章 一元二次方程一元二次方程举一反四题型训练（1）【知识点】一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。也就是说，一个一元二次方程需具备以下条件：只含有一个未知数 未知数的最高次数是2 方程两边是整式【例2.1】下列哪些是一元二次方程，那些不是（1） （2） （3）（4） （5） （6）解析：（1）方程经过整理变形为,满足上述条件，故是一元二次方程（2）方程经过整理变形为，方程最高次数为1，不满足条件（3）方程的左边不是整式，不满足条件（4）方程的最高次数是3，不满足条件（5）此式不是方程，故不是一元二次方程（6）方程左边含有两个未知数，不满足条件答：（1）是一元二次方程，（2）（3）（4）（5）（6）都不是一元二次方程【训练2.1】1.下列方程中是一元二次方程的是 【 】 . 2.下列是一元二次方程的是 【 】 3.下列方程中是一元二次方程的是 【 】 4. 下列是一元二次方程的是 【 】 【例2.2】若方程是关于的一元二次方程，求的值分析：若次方程为一元二次方程，必须满足上述3个条件，这里只含有一个未知数，但还需未知数的最高次数为2，也就是说最高次数=2，最高项系数0，即满足解：依题意得 解得【训练2.2】1.已知关于的方程，当_时，该方程是一元二次方程2. 已知关于的方程，当时，这个方程是_元_次方程，当时，这个方程是_元_次方程3. 若方程关于的一元二次方程,则_4.当_时，关于的方程是一元二次方程5. 若方程关于的一元二次方程,则_6.是二元一次方程的条件是 【 】A.为任意数 B.与不同时为0C.取不为0的数 D. 与不同时为07. 关于的方程不是一元二次方程，则应取的值是【 】 A. B. C. D.全体实数8.无论为何实属，下列方程是关于的一元二次方程的是 【 】A. B.C. D.9.如果关于的方程是二元一次方程，则应满足_10.当取何值时，方程是关于的一元二次方程？一元二次方程 举一反四题型训练（2）【知识点】一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为(是已知数，)【例2.2.1】将下列一元二次方程化为一般形式，分别指出它们的二次项系数，一次项系数和常数项（1） 解：移项得：所以方程的二次项系数为3，一次项系数为-1，常数项为-2（2）解：去括号得：合并同类项得：所以方程的二次项系数为-1一次项系数为5常数项为0小结：要确定一元二次方程的各项系数，必须将一元二次方程化为一般形式，因为各项系数是在方程的一般形式下定义的，另外还应注意各项系数除了数值外，还应包括数值前面的符号。【训练2.2.1】1.一元二次方程的一般形式是_2.方程的二次项系数是_;一次项系数是_;常数项是_3. 方程的二次项系数是_;一次项系数是_;常数项是_4. 方程的二次项系数是_;一次项系数是_;常数项是_5. 方程的二次项系数是_;一次项系数是_;常数项是_6.一元二次方程化为一元二次方程的一般形式是_,其中二次项系数是_;一次项系数是_;常数项是_7. 一元二次方程化为一元二次方程的一般形式是_,其中二次项系数是_;一次项系数是_;常数项是_8. 一元二次方程化为一元二次方程的一般形式是_,其中二次项系数是_;一次项系数是_;常数项是_一元二次方程 举一反四题型训练（3）【知识点】列一元二次方程。列方程解应用题得具体步骤是：（1） 审题：理解题意，弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相关关系是什么？（2） 设元（未知数）：可以直接设未知数，也可以间接设未知数；（3） 用含未知数的代数式表示相关的量。（4） 寻找相等关系列方程【例2.3.1】生日聚会，一共有名同学参加，若每位同学都和其他同学握手一次，一共握手91次，则根据题意可列方程_解：分析：每位同学需与（）名同学握手，则名同学共握手次，但每位同学都和其他同学握手一次，且A与B握手和B与A握手重复，故握手次数为次，故可列方程为【训练2.3.1】根据题意，列出方程（不必求解）1. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008年投入了3000万元，预计2010年投入5000万元，设教育经费的年增长率为，则根据题意可列方程为_2. 大江东去浪淘尽，千古风流数人物。而立之年督东吴，早逝英年两位数。十位恰小个位三，个位平方与寿符。哪位学子算得快，多少年华属周瑜。（注：三十而立）23.2 一元二次方程【知识点1】：直接开平方法定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解法叫做直接开平方法。利用直接开平方法解一元二次方程试用的题型：形如的方程解是即。形如的方程的解为【例2.4.1】解方程. 解：直接开平方得： 解：两边同时除以，得即 直接开放得： 即【练习2.4.1】解方程1. 2.3. 4.5. 6.【例2.4.2】解下列方程 解：移项得 解：移项得：两边同除以4： 直接开平方：直接开平方得： 即即【练习2.4.2】解方程1. 2.3. 4.【知识点2】因式分解不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫因式分解法。用因式分解法解一元二次方程适合的题型：方城左边能分解因式，右边为0的一元二次方程【例2.4.3】解下列方程（1） （2）解：方程左边分解因式 解：移项得： 方程左边分解因式：所以或 所以或 得 得【练习2.4.3】解方程1. 2.3. 4.【例2.4.4】解下列方程 解：方程左边因式分解 解：方程左边因式分解得 所以 所以或 得【练习2.4.4】解方程1. 2.3. 4.5. 6.【知识点3】配方法把一个一元二次方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，然后用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。（配方法以完全平方公式和为依据的）【例2.4.5】解下列方程 解：方程左边配方得： 解：移项得： 方程左边配方得 即 所以 即 得 所以 得【练习2.4.5】解方程（用配方法）1. 2.3. 4.若配方法中，二次项系数不为1，则先将二次项系数化为1，然后在方程两边加上一次项系数的一半的平方。【例2.4.6】解下列方程.解：两边同时除以4得移项得：左边配方得：即： 所以：得： 用配方法解一元二次方程步骤：先把二次项系数化为1：两边同除以二次项系数移项：把常数项移到方程的右边配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，化成的形式当时，用直接开平方的方法解变形后的方程。【练习2.4.6】解方程.（用配方法）1. 2.3.【知识点4】：公式法一元二次方程的求根公式是利用上述求一元二次方程的解的方法叫做公式法。公式法适用于任何一元二次方程（也称万能法），在使用前先把原方程化成一般形式【例2.4.7】：解方程（1）解：(2)解：移项整理将方程化为一般式【练习2.4.7】：配方法解下列方程1、 2、3、 4、【知识点5】一元二次方程根的判别式在探索一元二次方程求根公式的过程中，由于将配方成后，可以看出若方程左边能开方，需，这就是说决定着一元二次方程根的情况，因此把叫做根的判别式，用“”来表示。当时，方程有两个不相等的实根。当时，方程有两个相等的实根。当时，方程无实根。若方程不是一元二次方程，可根据字母的值判断方程根的情况。【例2.4.8】不解方程，判断下列方程根的情况。解： 此方程有两个不相等的根解：此方程没有实数根【练习2.4.8】不解方程，判断方程根的情况。1、 2、【练习2.4.9】用适当方法解下列方程。1、 2、3、 4、5、 6、7、 8、23.3 实践与探索【知识点1】列一元二次方程解应用题的一般步骤。列一元二次方程解应用题的一般步骤可以归结为“审、设、列、解、验、答”（1） “审”是指读懂题目，审清题意，明确哪些是已知的，哪些是未知的，以及它们之间的数量关系。（2） “设”是指设元，也就是设未知数，设元又分直接设元和间接设元。所谓直接设元就是问什么就设什么。如果直接设元列方程比较难或列出的方程比较复杂，这时可以考虑间接设元。（3） “列”就是列方程，就是找出题中的等量关系式，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。（4） “解”就是求出所列方程的解。（5） “验”就是指检验方程的解能否保证实际问题有意义（无意义的舍去）。（6） “答”就是书写答案，问什么打什么。【例2.5.1】中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场一只带病毒的小鸡经过两天的传染后使鸡场169只小鸡遭感染患病，在每一天传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？解：设每一天的传染中平均一只小鸡传染了只小鸡。分析：第一天这只小鸡传染了只小鸡，第一天后共有只小鸡禽流感；第二天这些小鸡中每一只又要传染只小鸡，那么第二天后有小鸡患禽流感，两天一共有只小鸡感染。根据题意： 即 解之得： 答：每一天传染中平均一只小鸡传染了12只小鸡。【知识点2】：数字问题有关数字应用题，大致分为三类：（1） 一般数目关系问题：（2） 连续数问题：这里有三种：连续整数，连续偶数和连续奇数。（3） 数字排列问题：【例2.5.2】已知三个连续奇数，其中最小的数的平方的3倍减去25和两个较大数的平方和相等，试求这三个数。解：设中间的奇数为x ，则这三个数中最小的、最大的奇数分别为x-2,x+2。则 整理得 解得 当时，当时，答：三个连续的奇数为-3，-1,1或15,17,19。【练习2.5.2】有一个两位数等于数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数。一个两位数，十位数字和个位数字之是5，把这个数的个位数与十位数字对调后，所得的新两位数与原来两位数的乘积为736，求原来的两位数。知识点3：面积问题此类问题属于几何图形的应用题，解决问题关键是将不规则图形与割成或组合成规则图形。【例2.5.3】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，合成一个无盖的长方体盒子，若长方体的底面积为81cm2,则剪去的正方形边长为多少？解：设剪去的正方形的边长为xcm.则剩下的图形各边长为（10-2x）cm.则 图2.1解之得 则 答:剪去的正方形边长为.【练习2.5.3】有一块矩形空地，一边靠在长是30m的墙上，另三边由一根长为35m的铁丝围成，已知矩形空地的面积是，求矩形的长和宽。30m125m2图2.2图2.2【知识点3】增长率问题有关增长率问题的基本关系式为，其中a是增长的基础量，x是平均增长（或减少）率，n是增长的次数或年数，p是变化后的总量。【例2.5.4】汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设，某汽车销售公司2007年盈利1500万元，到2009年盈利2160万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同。（1） 该公司盈利的增长率为多少？（2） 若该公司盈利的平均增长率保持不变，预计2010年盈利多少万元？解：（1）设年盈利的增长率为x,根据题意得 解得 答：该公司年盈利的增长率为20%。（2）2010年盈利：答：若该公司盈利的年增长率保持不变，预计2010年盈利2592万元。【练习2.5.4】2008年，某市自然保护区覆盖率为4.65%，尚未达到国家A级标准，因此，市政府决定加快绿化建设，力争2010年底自然保护区覆盖率达81%以上。若要达到最低目标8%，则该市自然保护区面积的年增长率应该是多少？（结果保留3个有效数字）【知识点4】利润问题解决利润问题最为重要的量是利润，常用的关系式有：(1) (2)(3) (4)【例2.5.5】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天够售出2件。（1） 若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？（2） 每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？解：(1)设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40-x）元，多售出2x件。根据题意得 整理得 解得 因为要尽快减少库存，所以x应取20。 (2)商场每天盈利 当时，代数式的值最大，最大值1250答：每件衬衫降价15元时，商场每天盈利最多，为1250元。【练习2.5.5】将进货单价为40元商品按50元售出，能卖500个。已知这种商品每一个涨价2元，其销售量将减少20个，问为了赚得8000元，售价应定为多少？这时应进货多少个？【知识点6】一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两根是，那么，也就是说，对于任何一个一元二次方程，如果它有实数根，那么这两个根与系数的关系：两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。主要应用于以下几个方面：已知方程的一个根，求另一根及未知系数中字母的值。已知方程两根的关系，求方程中字母系数的值。判别方程两根的符号。【例2.5.6】已知一元二次方程的两个实数根分别为。求值：解：由根与系数的关系： 【练习2.5.6】已知关于x的一元二次方程。（1） 求证：方程有两个不相等的实根。（2） 设方程两根分别为，且满足，求k的值。综合练习1、 选择题：1、 方程的解是（）2、 如果-4是一元二次方程的一个根，则常数c是（）3、 化成的形式，则 b=（）4、 三角形两边的长是3和4，第三边的长是的根，则该三角形的周长是（）5、 要组织