高一数学 3.1.1 方程的根与函数的零点 2课件 新人教A版必修1.ppt

3 1函数与方程3 1 1方程的根及函数的零点 1 结合二次函数的图象 判断一元二次方程根的存在性及个数 2 了解函数的零点与方程根的联系 课堂互动讲练 知能优化训练 3 1 1 课前自主学案 课前自主学案 1 函数y logax a 0且a 1 的图象与x轴的交点为 方程logax 0的根为 2 方程x2 2x 3 0的根为 函数y x2 2x 3与x轴的交点为 1 0 x 1 x1 1 x2 3 1 0 3 0 1 函数的零点对于函数y f x 我们把使 的实数 叫做函数y f x 的零点 2 方程的根 函数的图象与函数的零点之间的关系方程f x 0 函数y f x 的图象与 函数y f x 有 f x 0 x 有实数根 x轴有交点 零点 3 函数零点的判定如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是 不断的一条曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间 a b 内 零点 即存在c a b 使得 这个c也就是方程f x 0的根 连续 f a f b 0 有 f c 0 1 函数的零点是一个点吗 提示 函数的零点并不是指一个点 而是一个自变量x的值 它使得函数值y f x 0 即方程f x 0的根 2 在 a b 上有零点 一定有f a f b 0 课堂互动讲练 根据函数零点的定义可知 函数f x 的零点就是f x 0的根 因此判断一个函数是否有零点 有几个零点 就是判断方程f x 0是否有实根 有几个实根 下列函数是否存在零点 若存在 求出其零点 若不存在 说明理由 1 y ax 2 a 0 2 y 4x2 4x 1 x 0 3 y lnx 1 思路点拨 根据函数零点的概念知 函数是否有零点关键在于相应方程是否有实根 3 函数y lnx 1存在零点 令lnx 1 0 lnx 1 x e 即e是使lnx 1 0成立的x值 故x e是此函数的零点 名师点拨 判断函数的零点 即在定义域内是否有满足f x0 0的x0值存在 要注意零点并不是点而是点的横坐标 要正确理解和运用函数零点的性质在判断函数零点所在区间中的应用 若f x 的图象在 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在 a b 上不一定没有零点 2010年高考天津卷 函数f x 2x 3x的零点所在的一个区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 思路点拨 确定单调性 并判定f 1 f 0 的符号 解析 设y1 2x y2 3x 当x r时 y1与y2都是增函数 f x 2x 3x在r上为增函数 而f 2 2 2 6 0 f 1 2 1 3 0 f 0 20 1 0 f 1 2 3 5 0 f 2 22 6 0 f 1 f 0 0 故函数f x 在 1 0 上有零点 答案 b 名师点拨 说明函数的单调性 也就说明了函数零点的唯一性 本类题目重在考查方程根 或函数零点 的分布 解此类问题可设出方程对应的函数 画出相应的示意图 然后用函数性质加以限制 要注意以下四点 1 判别式 2 对称轴 3 所给区间端点的函数值 4 开口方向 关于x的方程mx2 2 m 3 x 2m 14 0有两实根 且一个大于4 一个小于4 求m的取值范围 名师点拨 解答本题易丢掉对m的讨论 只默认为m 0 互动探究2若上述方程有且只有一个实根 求m的值 方法技巧1 函数f x f x g x 的零点就是方程f x g x 的实数根 也就是函数y f x 的图象与y g x 的图象交点的横坐标 如例2 2 函数零点的求法 1 代数法 求方程f x 0的实数根 2 几何法 对于不能用求根公式的方程f x 0 可以将它与函数y f x 的图象联系起来 图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 如例1 3 解决有关根的分布问题应注意以下几点 1 首先画出符合题意的草图 转化为函数问题 2 结合草图考虑四个方面 与0的大小 对称轴与所给端点值的关系 端点的函数值与零的关系 开口方向 3 写出由题意得到的不等式 4 由得到的不等式去验证图象是否符合题意 这类问题充分体现了函数与方程的思想 也体现了方程的根就是函数的零点 在写不等式时要注意条件的完备性