高考数学一轮复习 7.4 基本不等式精品课件 新人教A版.ppt

要点梳理1 基本不等式 1 基本不等式成立的条件 2 等号成立的条件 当且仅当 时取等号 7 4基本不等式 a 0 b 0 a b 基础知识自主学习 2 几个重要的不等式 1 a2 b2 a b r 2 a b同号 3 a b r 4 a b r 3 算术平均数与几何平均数设a 0 b 0 则a b的算术平均数为 几何平均数为 基本不等式可叙述为 2ab 2 术平均数不小于它们的几何平均数 两个正数的算 4 利用基本不等式求最值问题已知x 0 y 0 则 1 如果积xy是定值p 那么当且仅当 时 x y有最 值是 简记 积定和最小 2 如果和x y是定值p 那么当且仅当 时 xy有最 值是 简记 和定积最大 x y 小 x y 大 基础自测1 下列结论中不正确的是 a b c a2 b2 2abd 解析只有当a b同号且不为零时成立 b 2 已知向量a x 1 1 b 则 a b 的最小值是 a 1b c d 2解析a b a b b 3 当x 1时 关于函数下列叙述正确的是 a 函数f x 有最小值2b 函数f x 有最大值2c 函数f x 有最小值3d 函数f x 有最大值3解析 x 1 x 1 0 c 4 已知a 0 b 0 则a 2b的最小值为 a b c d 14解析据题意知 a 5 若00 x 4 3x 3x 4 3x 当且仅当3x 4 3x 即x 时取得等号 d 题型一利用基本不等式证明不等式 例1 已知x 0 y 0 z 0 求证 由题意 先局部运用基本不等式 再利用不等式的性质即可得证 思维启迪 题型分类深度剖析 证明 x 0 y 0 z 0 当且仅当x y z时等号成立 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况 证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发 借助不等式的性质和有关定理 经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题 探究提高 知能迁移1 1 证明 a4 b4 c4 d4 4abcd 2 已知a 0 b 0 a b 1 求证 证明 1 a4 b4 c4 d4 2a2b2 2c2d2 2 a2b2 c2d2 2 2abcd 4abcd 原不等式得证 2 a 0 b 0 a b 1 所以原不等式成立 题型二利用基本不等式求最值 例2 求下列各题的最值 1 已知x 0 y 0 lgx lgy 1 求的最小值 2 x 0 求的最小值 3 x 3 求的最大值 4 x r 求的最小值 思维启迪 1 由lgx lgy 1得xy 10 故可用基本不等式 2 由x 0 是常数 故可直接利用基本不等式 3 由于不是常数 故需变形 又x 3 0 故需变号 4 虽然 常数 但利用基本不等式时 等号取不到 所以利用函数的单调性 解 1 方法一由x 0 y 0 lgx lgy 1 可得xy 10 当且仅当2y 5x 即x 2 y 5时等号成立 方法二由x 0 y 0 lgx lgy 1 可得当且仅当即x 2 y 5时等号成立 2 x 0 等号成立的条件是即x 2 f x 的最小值是12 3 x0 当且仅当即x 1时 等号成立 故f x 的最大值为 1 4 令sin2x 1 t 则t 1 2 故任取t1 t2 1 2 且t1 t2 t1 t2且t1 t2 1 2 t1 t2 0 t1t2 5 0 故g t1 g t2 0 g t1 g t2 g t 在 1 2 上是减函数 f x min 等号成立的条件是sin2x 1 2 sinx 1 故f x 的最小值是利用基本不等式求最值问题 基本方法是借助条件化二元函数为一元函数 代换过程中应注意元的范围 同时也要注意 拆项 凑项 的技巧 特别要注意等号能否取到 探究提高 知能迁移2 1 已知x 0 y 0 且求x y的最小值 2 已知x 求函数的最大值 3 若x y 0 且2x 8y xy 0 求x y的最小值 解 1 x 0 y 0 当且仅当时 上式等号成立 x 4 y 12时 x y min 16 2 x0 2 3 1 当且仅当即x 1时 上式等号成立 故当x 1时 ymax 1 3 由2x 8y xy 0 得2x 8y xy 当且仅当即x 2y时取等号 又2x 8y xy 0 x 12 y 6 当x 12 y 6时 x y取最小值18 题型三利用基本不等式解应用题 例3 12分 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池 池的深度一定 平面图如图所示 如果池四周围墙建造单价为400元 米 中间两道隔墙建造单价为248元 米 池底建造单价为80元 米2 水池所有墙的厚度忽略不计 1 试设计污水处理池的长和宽 使总造价最低 并求出最低总造价 2 若由于地形限制 该池的长和宽都不能超过16米 试设计污水池的长和宽 使总造价最低 并求出最低总造价 思维启迪设污水处理池的宽为x米 则长为米 由题意可建立总造价与x的函数关系 进而通过求函数的最值确定x的取值 解 1 设污水处理池的宽为x米 则长为米 1分 当且仅当 x 0 即x 10时取等号 5分 当长为16 2米 宽为10米时总造价最低 最低总造价为38880元 6分 2 由限制条件知8分 g x 有最小值 10分即f x 有最小值为 当长为16米 宽为米时 总造价最低 为38882元 12分 1 解应用题时 一定要注意变量的实际意义 即变量的取值范围 2 在求函数最值时 除应用基本不等式外 有时会出现基本不等式取不到 此时要考虑函数的单调性 探究提高 知能迁移3某学校拟建一块周长为400m的操场如图所示 操场的两头是半圆形 中间区域是矩形 学生做操一般安排在矩形区域 为了能让学生的做操区域尽可能大 试问如何设计矩形的长和宽 解设中间矩形区域的长 宽分别为xm ym 中间的矩形区域面积为s 则半圆的周长为因为操场周长为400 所以 即把矩形的长和宽分别设计为100m和时 矩形区域面积最大 1 恒等变形 为了利用基本不等式 有时对给定的代数式要进行适当变形 比如 方法与技巧 思想方法感悟提高 2 常用不等式 以下不等式在解题时使用更直接 1 a 0 且a r 当且仅当a 1时 成立 2 a 0 b 0 a b r 当且仅当a b时 成立 3 二次配方 a 0 a r 应用不等式可解决部分分式不等式的最值问题 比如 当x 2时 使用基本不等式求最值 其失误的真正原因是其存在前提 一正 二定 三相等 的忽视 要利用基本不等式求最值 这三个条件缺一不可 失误与防范 1 确保 一正 对于负数 很多不等关系就不一定成立 如 当x 0时 显然不再成立 事实上 此时 2 要使中 成立 必须使a b成立 如 一 选择题1 在下列各函数中 最小值等于2的函数是 a b c d 定时检测 解析选项a中 x 0时 y 2 x 0时 y 2 选项b中 cosx 1 故最小值不等于2 选项c中 答案d 2 2009 天津理 6 设a 0 b 0 若是3a与3b的等比中项 则的最小值为 a 8b 4c 1d 解析由题意知3a 3b 3 即3a b 3 所以a b 1 因为a 0 b 0 当且仅当a b时 等号成立 b 3 已知x 0 y 0 lg2x lg8y lg2 则的最小值是 a 2b c 4d 解析由lg2x lg8y lg2 得lg2x 3y lg2 x 3y 1 c 4 已知 a 2 xnb m nc m nd m n解析 a 5 x 则的最小值为 a 3b 2c 5d 7解析 d 6 函数x 0 3 则 a f x 有最大值b f x 有最小值 1c f x 有最大值1d f x 有最小值1解析 x 0 3 x 1 1 2 x 1 2 0 4 当且仅当且x 0 3 即x 2时取等号 当x 2时 函数f x 有最小值1 d 二 填空题7 若正数a b满足则a b的最小值为 解析 8 函数y ax 1 a 0 且a 1 的图象恒过定点a 若点a在一次函数y mx n的图象上 其中m n 0 则的最小值为 解析由题知a 1 1 m n 1 m n 0 4 9 若实数a b满足ab 4a b 1 0 a 1 则 a 1 b 2 的最小值为 解析 ab 4a b 1 0 ab 4a b 1 a 1 b 2 ab 2a b 2 6a 2b 1 a 1 a 1 0 当且仅当 a 1 2 1 即a 2时成立 最小值为27 答案27 三 解答题10 1 求函数y x a 2x x 0 a为大于2x的常数 的最大值 2 设x 1 求函数的最值 解 1 x 0 a 2x 当且仅当时取等号 故函数的最大值为 2 x 1 x 1 0 设x 1 z 0 则x z 1当且仅当z 2 即x 1时上式取等号 x 1时 函数y有最小值9 无最大值 11 1 已知a 0 b 0 c 0且a b c 1 求证 2 已知a 0 b 0 求证 证明 1 a b c 1 3 2 2 2 9 等号成立的条件是a b c 故 2 方法一 方法二 a 0 b 0 由不等式的性质 得 12 西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费 对生产的羊皮手套进行促销 在1年内 据测算年销售量s 万双 与广告费x 万元 之间的函数关系为 x 0 已知羊皮手套的固定投入为3万元 每生产1万元羊皮手套仍需再投入16万元 年销售收入 年生产成本的150 年广告费的50 1 试将羊皮手套的年利润l 万元