高中数学 3.4 导数在实际生活中的应用课件 苏教版选修11 .ppt

一 填空题 每题4分 共24分 1 把长为12cm的细铁丝截成两段 各自围成一个正三角形 那么这两个正三角形的面积之和的最小值是 解析 设其中一段细铁丝长为xcm 则另一段长 12 x cm 两个正三角形的面积之和为s f x x2 12 x 2 2x2 24x 144 x2 12x 72 x 0 12 由s 2x 12 0 得x 6 当00 s f x 递增 x 6是函数的最小值点 此时f 6 2cm2 答案 2cm2 2 要做一个圆锥形漏斗 其母线长为20cm 要使其体积最大 则其高为 解析 设高为h 半径为r 则r2 202 h2 v r2 h 400 h2 h h3 h v h2 0时 h 根据函数单调性的变化特点 知h cm 体积最大 答案 3 做一个无盖的圆柱形水桶 若要使其体积是27 且用料最省 则圆柱的底面半径为 解析 设圆柱的底面半径为r 高为h 则 r2 h 27 h 全面积s r2 2 r h r2 2 r r2 s 2 r 令s 0 得r 3 当03时 s 0 r 3时 s最小 答案 3 4 某厂生产某种商品x单位的利润是l x 500 x 0 001x2 生产 单位这种商品时利润最大 最大利润是 解析 求最大利润 即求函数l x 的最大值 l x 1 0 002x 令l x 0 即1 0 002x 0 得x 500 此时l 500 750 由已知 l x 在其定义域 0 上连续且只有一个极值点 所以可得生产500单位这种商品时利润最大 最大利润是750 答案 500750 5 2010 聊城高二检测 设底面为等边三角形的直棱柱的体积为v 则其表面积最小时 底面边长为 6 某公司生产某种产品 固定成本为20000元 每生产一单位产品 成本增加100元 已知总收益r与年产量x的关系是则总利润最大时 每年生产的产量是 解析 由题意知总成本c x 20000 100 x 总利润为p r x c x 令p 0 当0 x 400时 得x 300 当x 400时 p 0恒成立 知当x 300时 总利润最大 答案 300 三 解答题 每题8分 共16分 7 试验表明 某型号的汽车每小时的耗油量y 升 与速度x 千米 小时 的关系式为y 3 已知甲乙两地相距180千米 最高时速为v千米 小时 1 当车速为x 千米 小时 时 从甲地到乙地的耗油量为f x 升 求函数f x 的解析式并指出函数的定义域 2 当车速为多大时 从甲地到乙地的耗油量最少 解析 1 f x x 0 v 2 f x 解得x 90 若v 90 有f x 0 则函数f x 在区间 0 v 内为单调减函数 所以车速为v 千米 小时 时 从甲地到乙地的耗油量最小 若v 90 当00 所以 当x 90时 f x 最小 综上 若v 90 车速为v 千米 小时 时 从甲地到乙地的耗油量最小 若v 90 车速为90 千米 小时 时 从甲地到乙地的耗油量最小 8 某商场预计2010年从1月份起前x个月 顾客对某种商品的需求总量p x 件与月份x的近似关系是p x x x 1 39 2x x n 且x 12 该商品的进价q x 元与月份x的近似关系是q x 150 2x x n 且x 12 1 写出今年第x月的需求量f x 件与月份x的函数关系式 2 该商品每件的售价为185元 若不计其他费用且每月都能满足市场需求 则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元 解题提示 1 解答本题时写出今年第x个月的需求量f x 与月份之间的函数关系是关键 注意验证x 1时的情况 2 写出月利润的函数表达式后利用导数的有关性质去求最大利润 解析 1 当x 1时 f 1 p 1 37 当2 x 12时 f x p x p x 1 x x 1 39 2x x 1 x 41 2x 3x2 40 x x n 且2 x 12 验证x 1符合f x 3x2 40 x f x 3x2 40 x x n 且1 x 12 2 该商场预计销售该商品的月利润为g x 3x2 40 x 185 150 2x 6x3 185x2 1400 x x n 1 x 12 g x 18x2 370 x 1400 令g x 0 解得x 5 x 舍去 当1 x 5时 g x 0 当5 x 12时 g x 0 当x 5时 g x max g 5 3125 元 综上5月份的月利润最大是3125元 9 10分 已知函数f x x lnx 1 求函数f x 在 1 e2 上的最值 2 对x d 如果函数f x 的图像在函数g x 的图像的下方 则称函数f x 在d上被函数g x 覆盖 求证 函数f x 在区间 1 上被函数g x x2覆盖 解题提示 f x 在d上被g x 覆盖的真实含义是对对任意x d f x g x 解析 1 f x 1 0在 1 e2 上恒成立 f x 在 1 e2 上为增函数 f x min f 1 1 f x max f e2 e2