高考数学 专题突破 第一部分专题四第三讲 空间向量与立体几何课件 理.ppt

专题四立体几何 第一部分专题突破方略 第三讲空间向量与立体几何 主干知识整合 高考热点讲练 如图 在六面体abcd a1b1c1d1中 四边形abcd是边长为2的正方形 四边形a1b1c1d1是边长为1的正方形 dd1 平面a1b1c1d1 dd1 平面abcd dd1 2 求证 1 a1c1与ac共面 b1d1与bd共面 2 平面a1acc1 平面b1bdd1 证明 1 以d为原点 以da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系d xyz 如图 则有d 0 0 0 a 2 0 0 b 2 2 0 c 0 2 0 a1 1 0 2 b1 1 1 2 c1 0 1 2 d1 0 0 2 即dd1 ac db ac 又dd1与db是平面b1bdd1内的两条相交直线 ac 平面b1bdd1 又ac 平面a1acc1 平面a1acc1 平面b1bdd1 归纳拓展 用向量法证明平行 垂直问题的步骤 1 建立空间图形与空间向量的关系 可以建立空间直角坐标系 也可以不建系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 2 通过向量运算研究平行 垂直问题 3 根据运算结果解释相关问题 变式训练1在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是bb1 dc的中点 1 求证 d1f 平面ade 2 设正方形add1a1的中心为m b1c1的中点为n 求证 mn 平面ade 2011年高考四川卷 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 bac 90 ab ac aa1 1 延长a1c1至点p 使c1p a1c1 连接ap交棱cc1于点d 1 求证 pb1 平面bda1 2 求二面角a a1d b的平面角的余弦值 2011年高考北京卷 如图 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd 底面abcd是菱形 ab 2 bad 60 1 求证 bd 平面pac 2 若pa ab 求pb与ac所成角的余弦值 3 当平面pbc与平面pdc垂直时 求pa的长 解 1 证明 因为四边形abcd是菱形 所以ac bd 又因为pa 平面abcd 所以pa bd 所以bd 平面pac 2 设ac bd o 因为 bad 60 pa ab 2 归纳拓展 1 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为 建立恰当的空间直角坐标系 求出相关点的坐标 写出向量坐标 结合公式进行论证 计算 转化为几何结论 2 几个常见空间角的求法 异面直线所成的角 可通过直线的方向向量夹角 求得 即cos cos 直线与平面所成的角 主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角 求得 即sin cos 二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角 或其补角 求得 也可以通过二面角的两个半平面的法向量的夹角来求 它等于两个法向量的夹角或其补角 变式训练2如图所示 在棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1中 e是bc的中点 平面b1edf交a1d1于点f 1 指出f在a1d1上的位置 并说明理由 2 求直线a1c与de所成角的余弦值 3 求直线ad与平面b1edf所成角的正弦值 解 1 当点e为bc的中点时 ef与平面pac平行 在 pbc中 e f分别为bc pb的中点 ef pc 又ef 平面pac 而pc 平面pac ef 平面pac 归纳拓展 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题 它无需进行复杂的作图 论证 推理 只需通过坐标运算进行判断 解题时 把要成立的结论当作条件 据此列方程或方程组 把 是否存在 问题转化为 点的坐标是否有解 是否有规定范围的解 等 所以使问题的解决更简单 有效 应善于运用这一方法解题 变式训练3已知在四棱柱abcd a1b1c1d1中 侧棱aa1 底面abcd ab ad bc ad 且ab 2 ad 4 bc 1 侧棱aa1 4 1 若e为aa1上一点 试确定e点的位置 使eb 平面a1cd 2 在 1 的条件下 求二面角e bd a的余弦值 考题解答技法 2011年高考山东卷 本题满分12分 在如图所示的几何体中 四边形abcd为平行四边形 acb 90 ea 平面abcd ef ab fg bc eg ac ab 2ef 1 若m是线段ad的中点 求证 gm 平面abfe 2 若ac bc 2ae 求二面角a bf c的大小 解 1 证明 因为ef ab fg bc eg ac acb 90 所以 egf 90 abc efg 由于ab 2ef 2分因此bc 2fg 2 因为 acb 90 所以 cad 90 又ea 平面abcd 所以ac ad ae两两垂直 分别以ac ad ae所在直线为x轴 y轴和z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 不妨设ac bc 2ae 2 则由题意得a 0 0 0 b 2 2 0 c 2 0 0 e 0 0 1 7分 得分技巧 第 1 问中的得分点是先证明bc 2fg 再进一步推导am与gf的平行与相等关系 第 2 问的得分点 一是建立空间坐标系 写出一些点的坐标 二