高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教A版选修2_32.docx

23.2离散型随机变量的方差学习目标1理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念2能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题3掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差知识链接1某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，5；乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？答甲乙7，利用样本的方差公式s2(x1)2(x2)2(xn)2，求得：s2.2，s1.2.ss，乙成绩较稳定，选乙参加比赛2随机变量的方差与样本的方差有何不同？答样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常量而非变量预习导引1离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则(xiE(X)2描述了xi(i1，2，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X) (xiE(X)2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度我们称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差2离散型随机变量方差的性质(1)设a，b为常数，则D(aXb)a2D(X)；(2)D(c)0(其中c为常数)3服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)p(1p)(其中p为成功概率)；(2)若XB(n，p)，则D(X)np(1p)要点一求离散型随机变量的方差例1甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、期望及标准差解(1)P.(2)P(0)；P(1).P(2).故的分布列为012PE()012，D()(0)2(1)2(2)2，.规律方法1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤：利用公式D(X) (xiE(X)2pi求值2对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(ab)a2D()，这样处理既避免了求随机变量ab的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程跟踪演练1已知X的分布列为X101P求：(1)E(X)，D(X)；(2)设Y2X3，求E(Y)，D(Y)解(1)E(X)101，D(X)(1)2(0)2(1)2.(2)E(Y)2E(X)3，D(Y)4D(X).要点二两点分布与二项分布的方差例2为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了n株沙柳各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望E()为3，标准差为.(1)求n和p的值，并写出的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种求需要补种沙柳的概率解由题意知，服从二项分布B(n，p)，P(k)Cpk(1p)nk，k0，1，n.(1)由E()np3，D()np(1p)，得1p，从而n6，p.的分布列为0123456P(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)P(3)，得P(A)，或P(A)1P(3)1.所以需要补种沙柳的概率为.规律方法方差的性质：D(ab)a2D()若服从两点分布，则D()p(1p)若B(n，p)，则D()np(1p)跟踪演练2设一次试验的成功率为p，进行100次独立重复试验，求当p为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值解设成功次数为随机变量X，由题意可知XB(100，p)，则.因为D(X)100p(1p)100p100p2，把上式看作一个以p为自变量的二次函数，易知当p时，D(X)有最大值为25.所以的最大值为5.即当p时，成功次数的标准差的值最大，最大值为5.要点三均值与方差的综合应用例3袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1，2，3，4)现从袋中任取一球表示所取球的标号(1)求的分布列、期望和方差；(2)若ab，E()1，D()11，试求a，b的值解(1)的分布列为01234P则E()012341.5.D()(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由D()a2D()，得a22.7511，得a2.又E()aE()b，所以当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4.所以或即为所求规律方法解均值与方差的综合问题时的注意事项(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其解题的关键是求出分布列；(2)在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算；(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂的计算若随机变量X服从两点分布、二项分布可直接利用对应公式求解跟踪演练3从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数(1)求X的分布列；(2)求X的均值与方差；(3)求“所选3人中女生人数X1”的概率解(1)X可能的取值为0，1，2.P(Xk)，k0，1，2.X的分布列X012P(2)由(1)，X的均值与方差为E(X)0121.D(X)(01)2(11)2(12)2.(3)由(1)，“所选3人中女生人数X1”的概率为P(X1)P(X0)P(X1).1设随机变量X的方差D(X)1，则D(2X1)的值为()A2 B3 C4 D5答案C解析D(2X1)4D(X)414.2同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为，则D()等于()A. B. C. D5答案A解析B(10，)，D()10(1).3已知离散型随机变量X的可能取值为x11，x20，x31，且E(X)0.1，D(X)0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为_，_，_.答案0.40.10.5解析由题意知，p1p30.1，121p10.01p20.81p30.89.又p1p2p31，解得p10.4，p20.1，p30.5.4有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1 2001 4001 6001 800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1 0001 4001 8002 200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X1)1 2000.41 4000.31 6000.21 8000.11 400，D(X1)(1 2001 400)20.4(1 4001 400)20.3(1 6001 400)20.2(1 8001 400)20.140 000；E(X2)1 0000.41 4000.31 8000.22 2000.11 400，D(X2)(1 0001 400)20.4(1 4001 400)20.3(1 8001 400)20.22 2001 400)20.1160 000.因为E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位1随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散2求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X).一、基础达标1下列说法中，正确的是()A离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值B离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的平均水平C离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的平均水平D离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值答案C2设一随机试验的结果只有A和，且P(A)m，令随机变量则的方差D()等于()Am B2m(1m)Cm(m1) Dm(1m)答案D解析随机变量的分布列为01P1mmE()0(1m)1mm.D()(0m)2(1m)(1m)2mm(1m)故选D.3已知随机变量X的分布列为P(Xk)，k1，2，3，则D(3X5)等于()A6 B9 C3 D4答案A解析E(X)1232，D(X)(12)2(22)2(32)2，D(3X5)9D(X)96.4已知XB(n，p)，E(X)8，D(X)1.6，则n与p的值分别是()A100和0.08 B20和0.4C10和0.2 D10和0.8答案D解析因随机变量XB(n，p)，则E(X)np8，D(X)np(1p)1.6，所以n10，p0.8.5若D()1，则D(D()_.答案1解析D(D()D(1)D()1.6随机变量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E()，则D()_.答案解析由题意得2bac，abc1，ca，以上三式联立解得a，b，c，故D().7抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)解(1)X服从两点分布X01PE(X)p，D(X)p(1p)(1).(2)由题意知，XB(10，)E(X)np105，D(X)np(1p)10(1).二、能力提升8已知随机变量的分布列如下表，则的标准差为()135P0.40.1xA.3.56 B. C3.2 D.答案D解析依题意：0.40.1x1，x0.5，E()10.430.150.53.2，D()(13.2)20.4(33.2)20.1(53.2)20.53.56，.9设随机变量的分布列为P(k)C()k()nk，k0，1，2，n，且E()24，则D()的值为()A8 B12 C. D16答案A解析由题意可知B(n，)，E()n24.n36.D()36(1)8.10若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0p1)，用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差D(X)的最大值为_答案解析随机变量X的所有可能取值为0，1，由题意，得X的分布列为X01P1pp从而E(X)0(1p)1pp，D(X)(0p)2(1p)(1p)2ppp2.D(X)pp2(p2p)(p)2，因为0p1，所以当p时，D(X)取得最大值，最大值为.11有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为，求E()和D()解这3张卡片上的数字之和为，这一变量的可能取值为6，9，12.6表示取出的3张卡片上均标有2，则P(6).9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(9).12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(12).的分布列为6912PE()69127.8.D()(67.8)2(97.8)2(127.8)23.36.12有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲：分数X8090100概率P0.20.60.2乙：分数Y8090100概率P0.40.20.4试分析两名学生的成绩水平解E(X)800.2900.61000.290，D(X)(8090)20.2(9090)20.6(10090)20.240，E(Y)800.4900.21000.490，D(Y)(8090)20.4(9090)20.2(10090)20.480，E(X)E(Y)，D(X)D(Y)，甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定三、探究与创新13(2013北京理)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)