经济数学函数习题及答案.pdf

第一章 函数 习题 1 1 1 下列各组函数是否相同 为什 么 1 f 与 与 4 解 1 因为对 都有定义 且 所以两个函数相同 2 因为两个函数的对应规则不同 所以两个函数不同 3 因为函数 的定义域为 而函数 的定义域为 所以由D1 D2知 两个函数为不相同的函数 4 两个函数的对应关系相同 定义域相同 故两个函数相同 2 求下列函数的定义域 解 1 由偶次根式的定义可知 应满足关系式 故函数的定义域为 2 由关系式 解得 故函数的定义域为 3 要使该函数有意义 应满足关系式 解得 故函数的定义域为 D 4 因为分段函数的定义域为各分段函数定义域之并集 故 D 0 0 2 2 解 当 0时 当 2时 当 t时 所以 当 时 所以 当 t 0 时 所以 当 时 当 时 所以 故 4 求下列函数的值 1 2 求 解 1 当 0时 f 0 1 当1 a 1时 即a 1 即a 0时 即 当 1 5 0 求 的定义域 3 若 的定义域是 0 1 求 的定义域 4 若 的定义域是 1 1 求 的定义域 解 1 因为 中的 满足 4 4 所以 中的 必须满足 即 故函数 的定义域是 2 2 2 欲使函数有定义 须且只需使 和 同时有定义 于 是 即 a 2a 故函数 的定义域为 a 2a 3 因为 中的 必须满足 即 1 10 故函数 的定义域为 1 10 4 由 的定义域为 1 1 得 1 1 即 0 2 故函数 的定义域为 0 2 6 设函数 对一切正数都满足方程 试证下列各式 1 2 3 证 1 在已知方程中 令 1 1 得 即 2 在已知方程中 令 则 即 3 在已知等式中 不变 而将y用 代换 得 将 2 式代入上式 得 7 当 为何值时 的定义域是 解 当 时 此时函数的定义域为 当 时 只要 即 也就是0 k 2时 函数的定义域为 故当0 k 2时 函数 的定义域是 习题 1 2 1 判断下列函数的单调性 解 1 对于指数函数 底数 故是单调减函数 2 对于对数函数 3 因为 的定义域为 0 对于 1 2 0 当 10 即 时 有 而当 0 即 0时 有 于是 所以该函数 为偶函数 5 因为 0 0 均有 所以该函数 为偶函数 6 因为 均有 所以该函数 为奇函数 3 下列函数是否为周期函数 如果是周期函数 求其周期 1 sin 2 cos 解 1 令 则 sin T sin 而满足上式的T之最小正值为 因此 是以 为周期的周期函数 2 设 则 当 0 时 由TcosT 0 得T1 当 时 由 由于 不满足 T均为唯一正值 即T随 的变化而变 所以 不是周期函数 4 证明函数 在 上是单调增函数 证 因为 均有 即 故 为单调增函数 5 为定义在 1 1 上的奇函数 若 在 0 1 内是单调增函数 证明在 1 0 内也单调递增 证 对于 x1 x2 1 0 设 1 2 由已知得 其中 1 2 0 1 则 即 故 在 1 0 内也单调递增 6 证明 不是周期函数 证 因为D 0 不是以原点为中心的对称集合 所以 不是周期函数 7 证明函数 在其定义域内是有界的 证 因为 所以 故由函数有界的定义知 函数 在其定义域内是有界的 8 设函数 的定义域为 0 0 且满足 其中a b c均为常数 a b 证明 为奇函数 证 在已知等式中 用 代替 得 解方程组 得 因为 所以 为奇函数 9 证明定义在对称区间上的任意函数可以写成一个偶函数和一个奇函 数之和 证 设 是定义在对称区间I上的任意一个函数 而 则令 因为 且 即 且 故函数 可表示为偶函数F1 与奇函数F2 之和 习题 1 3 1 1 求下列函数的反函数及其定义域 解 1 由所给函数解出x 得 交换x y 得 反函数 2 由已知函数解出x 得 交换x y 得 反函数 3 当0 2时 由 得 当2 x 4时 由 得 所以原函数的反函数为 其定义域为 0 6 4 由所给函数解出x 得 交换x y得 反函数 2 2 下列函数是由那些简单函数复合而成的 解 1 该函数是由幂函数 数 复合而成的 2 该函数是由幂函数y u2与正弦函数 复合而成 3 该函数是指数函数 幂函数 及余弦函数 复合而成的 4 该函数是由幂函数 对数函数 复合而成 3 已知 解 由复合函数定义 得 4 设 求 解 因为当 1 1 即 4 所以函数的定义域为 2 设 求 的值 解 因为 的定义域为 1 1 值域为 所以 3 已知奇函数y 在定义域 1 1 上是减函数且 求实数a的范围 解 因为 且函数 为奇函数 所以 由 在 1 1 上为减函数 得 解之 得a的取值范围为 1 4 已知 解 由于 于是 且 解之 得 即 5 已知函数 的图形 作出下列各函数的图形 解 1 的示意图形见图1 1所示 2 的示意图形见图1 2所示 3 的示意图形见图1 3所示 图1 1 图1 1 图1 2 图1 3 6 已知 解 令 将其代入已知条件 得 解方程组 得 7 设函数 的图形如图1 4 所示 试写出其表达式 并做出函数 的图形 解 由所给图形知函数的表达式为 图1 4 因 的图形与 的图形关于x轴对称 故 图形如图1 5所示 图1 5 8 已知 解 令 则 于是 由此得y 1且 习题 1 5 1 将长度为100cm的金属丝分成两段 第一段围成一个正方形 第 二段围成一个圆 设第一段长度为a 正方形与圆的面积之和为S 试将S 表示成a的函数 解 设正方形的面积为S1 圆的面积为S2 则 于是 2 某企业拟建一个容积为v的长方形水池 设它的底为正方形 如 果 池底所用材料单位面积的造价是四周单位面积造价的2 倍 试将总造价 表 示成底边长的函数 并确定此函数的定义域 解 设四周单位面积的造价为a 总价为y 底边长为x 则 3 某产品的产量为x吨 固定成本为b b 0 元 每生产一个单位产 品总成本增加a a 0 元 试将总成本C及平均成本C表示为x的函数 解 总成本函数 C b ax 平均成本函数 x 0 4 某厂生产的150克袋装方便面 每袋出厂价为0 3元 销量总在一 万袋左右徘徊 通过革新 提高效率后 逐步降低价格占领市场 据统 计 每袋降低3分钱 市场需求量增加约0 3万袋 试求价格为p时的需求量 Qd 并求出当p 0 21时的需求量 解 设线性需求函数为 为常数 由题意得方程组 得 a 4 b 10 故所求线性需求函数为 于是当p 0 21时 Qd 1 9 即当价格为0 21时 需求量为1 9万袋 5 已知下列需求函数和供给函数 求相应的市场均衡价格p 1 2 解 设市场均衡价格P 则由等式Qd p QS p 得 1 即 P 5 2 将Qs p 3 代入 解得 P 8 6 设销售商品的总收入R是销售量x的二次函数 已知x 0 2 4 时 相应的R 0 6 8 试确定R与x的函数关系 解 由题意设总收入R与x的函数关系为 将x 0 R 0 x 2 R 6 x 4 R 8分别代入关系式中 得 即 故所求总收益函数为 某产品年产量为x台 每台售价180元 当年产量在300台以内 时 可以全部售出 当年产量超过300台时 经广告宣传后可以多售出 200台 每台平均广告费20元 生产再多一些 本年内就售不出去 试将 本年的销售收入R 表示为年产量x的函数 解 由题意知 当x 300时 收入R 180 x 元 当300 x 500时 收入R 300 20 180 x 20 x 6000 160 x 元 当500 x时 收入R 6000 160 500 86000 元 故本年销售收入R为年产量x的函数为 某种玩具定价 元 件 每月可售出1000件 若每件售价降低 0 01元 则可多售出10件 试将总收入表示为多售出件数的函数 解 设总收入为R 多售出件数为x件 则每件应降低 于是总收入 所以将总收入R表示为多售出件数x的函数关系为 R 5000 4x 0 001x2 元 9 某种彩色电视机每台售价为1500元 每月可销售2000台 每台售价 降50元时 每月可增销100台 试求该电视机的需求函数 解 电视机的需求量为Qd 价格为p 则需求函数为 且为常数 将p 1500 Qd 2000 p 1450 Qd 2100分别代入需求函数中 得 即 a 5000 b 2 所以该电视的需求函数为 综合习题一 1 选择填空 1 函数y arcsin ln 的定义域为 1 e e 1 e 1 1 1 2 设 是定义在 的偶函数 g 是定义在 的奇函数 则下列函数中 是奇函数 3 设函数 的定义域是 4 0 则g sin cos tan cot 4 设 1 ln 2 1 1 5 f sin 是 有界函数 单调函数 周期函数 偶函数 解 1 2 3 4 5 2 已知 在R上有定义 且已知在 时函数图形如图1 6所示 1 是否为偶函数 如果是 请写出 的具体表达式 并作出 0 时函数的图形 2 y 是否为奇函数 如果是 请 图1 6 写出y 的具体表达式 并作出函数的图形 如果不是请说明理由 解 1 是偶函数 当 0时 函数如图1 7 2 不是 因为在 0已成多值函数 3 根据下列图形判断函数的单调性 图1 7 图1 图1 8 图1 9 答 a 图1 8是减函数 b 图1 9是增函数 4 下列各图形是否为以 为自变量的函数图形 若是 找出图形所 表示函数的定义域及值域 图1 10 图1 11 答 1 图1 10是函数的图形 D 3 2 Z 2 2 2 图1 11不是函数的图形 因它是多值对应 5 设 求 并作出这两个函数的图形 解 如图1 12所示 如图1 13所示 图1 12 图1 13 6 设 证明 并求 证 则 所以 即 7 设 是奇函数 且当 0时 求 并判断它是否有反函数 若有反函数则求出其反函数 解 由 是奇函数 有 即 又因为当 0时 有 所以当 0时 是单调增函数 0时 是增函数 故 在 上有反函数 8 设 求 的解析式 解 因为 所以 9 设 解 由 知 1 当 时 f 1 于是 2 当 时 0 于是f f f 0 1 由 1 2 可知 f f 1 10 设 求函数 解 因为 1 当 有 2 当 有 故结合 1 2 得 11 设 是奇函数 f 1 a且f 2 f f 2 1 试用a表示f 2 与f 5 2 问a取何值时 以2为周期 解 1 由 是奇函数知 因为 所以令 1 得 2 2a 又分别令 3与 1 有 得 5 5a 2 由 知 当且仅当 2 0 即2a 0时 就恒有 故当a 0时 以2为周期 12 最优批量问题 某工厂生产某中产品 年产量为a吨 分若干 批 进行生产 每批生产准备费为b元 设产品均投放市场 且上一批卖完 后 立即生产下一批 即平均库存量为批量的一半 设每年每吨库存费为c 元 显然 生产批量大则库存费高 生