《走向清华北大》高考总复习 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件.ppt

第三十三讲二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 回归课本1 二元一次不等式表示的平面区域 1 一般地 在平面直角坐标系中 二元一次不等式ax by c 0表示直线ax by c 0某一侧所有点组成的平面区域 半平面 不包括边界直线 不等式ax by c 0所表示的平面区域 半平面 包括边界直线 2 对于直线ax by c 0同一侧的所有的点 x y 使得ax by c值的符号相同 也就是位于同一半平面的点 其坐标适合ax by c 0 而位于另一半平面的点 其坐标适合ax by c0 或ax by c 0 所表示的区域 2 基本概念 1 线性约束条件 由x y 或方程 组成的不等式组 是关于x与y的一次不等式 或等式 2 目标函数 要求最大值或最小值的函数如z 2x y z x2 y2 3 线性目标函数 关于x y的一次函数 4 可行解 满足线性约束条件的解 x y 叫可行解 5 可行域 由所有的可行解组成的集合叫做可行域 6 最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解叫最优解 7 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题叫做线性规划问题 考点陪练 解析 图中两直线方程分别为x y 1 0和x 2y 2 0 因为阴影部分在x y 1 0的右上方 x 2y 2 0的右下方 所以x y 1 0 x 2y 2 0 答案 a 答案 d 3 2009 银川模拟 配置a b两种药剂都需要甲 乙两种原料 用料要求如下表所示 单位 kg 药剂a b至少各配一剂 且药剂a b每剂售价分别为100元 200元 现有原料甲20kg 原料乙25kg 那么可以获得的最大销售额为 a 600元b 700元c 800元d 900元 答案 c 4 2010 新课标全国 已知 abcd的三个顶点为a 1 2 b 3 4 c 4 2 点 x y 在 abcd的内部 则z 2x 5y的取值范围是 a 14 16 b 14 20 c 12 18 d 12 20 解析 由题可知 平行四边形abcd的顶点d的坐标为 0 4 点 x y 在平行四边形内部 如图 所以在d 0 4 处目标函数z 2x 5y取得最大值为20 在点b 3 4 处目标函数z 2x 5y取得最小值为 14 由题知点 x y 在平行四边形内部 所以端点取不到 故z 2x 5y的取值范围是 14 20 故选b 答案 b 解析 不等式组表示的平面区域如图中所示的阴影部分 当直线z x y过直线x 2y 6 0与x轴的交点 6 0 时 目标函数z x y取得最大值6 答案 c 类型一二元一次不等式表示的平面区域解题准备 确定二元一次不等式 组 表示的平面区域有两种方法 一是用特殊点定区域 二是用b的符号与不等式的符号定区域 注意 1 ax by c 0 0 表示直线l ax by c 0某一侧所有点组成的平面区域 直线应画成虚线 2 ax by c 0 0 表示直线l ax by c 0某一侧含边界直线上的所有点组成的平面区域 直线l应画成实线 分析 1 数形结合 2 整点是指横 纵坐标均为整数的点 解 1 不等式x y 5 0表示直线x y 5 0上及右下方的点的集合 x y 0表示直线x y 0上及右上方的点的集合 x 3表示直线x 3上及左方的点的集合 2 由图形及不等式组知且x z当x 3时 3 y 8 有12个整点 当x 2时 2 y 7 有10个整点 当x 1时 1 y 6 有8个整点 当x 0时 0 y 5 有6个整点 当x 1时 1 y 4 有4个整点 当x 2时 2 y 3 有2个整点 平面区域内的整点共有2 4 6 8 10 12 42 个 反思感悟 本题主要考查不等式表示的平面区域 数列求和及不等式的应用等基础知识 考查了数形结合的方法和逻辑推理能力 1 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集 因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 2 在封闭区域内找整点数目时 若数目较小时 可画网格逐一数出 若数目较大 则可分x m逐条分段统计 类型二由约束条件求目标函数的最值解题准备 处理简单的线性规划问题 一般经历以下四个步骤 1 画 画出线性约束条件所表示的可行域 2 移 在线性目标函数所表示的一组平行线中 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线 3 求 通过解方程求出最优解 4 答 作出答案 分析 本题考查线性约束条件下目标函数的最值问题 用图解法求解 解 原不等式组表示的平面区域如图所示 其中a 4 1 b 1 6 c 3 2 1 设z 4x 3y 则作一组斜率为的平行线 由图可知 当它经过c点时z值最小 当它经过b点时z值最大 zmin 4 3 3 2 18 zmax 4 1 3 6 14 2 设u x2 y2 则u就是点 x y 与原点距离的平方 由图可知 b点到原点的距离最大 而当 x y 在原点时 距离为0 umax 1 2 6 2 37 umin 0 反思感悟 线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取得 具体方法是 将目标函数的直线平行移动 最先 或最后 通过的顶点便是 特别地 当表示线性目标函数的直线与可行域的某边平行时 其最优解可能有无数个 另外 此题在可行域中整点有 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 4 1 共12个 结合图形便知离直线距离较近的点有 1 5 2 4 3 2 4 1 可以代入s 7x 5y进行验证 则得点 2 4 为最优解 使s最大 类型三线性规划的简单应用解题准备 解线性规划应用题的步骤 1 转化 设元 写出约束条件和目标函数 从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题 2 求解 解这个纯数学的线性规划问题 典例3 要将两种大小不同的钢板截成a b c三种规格 每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表 每张钢板的面积 第一种为1m2 第二种为2m2 今需要a b c三种规格的成品各12 15 27块 问各截这两种钢板多少张 可得到所需三种规格成品 且使所用钢板面积最小 分析 本题属第二种类型 是一道整点最优解问题 先用最优解的方法 求可行域和目标函数 然后在可行域上求满足条件的整数解 反思感悟 在可行域内找整点最优解 一般采用平移找解法 即打网格 描整点 平移直线 找出整点最优解 另外也可找临近的整点 验算选最优解 错源一混淆 线性规划 与 一般规划 错解 作出平面区域m如图阴影部分所示 求得a 2 10 c 3 8 b 1 9 由图可知 欲满足条件必有a 1且图象在过a c两点的图象之间 当图象过a时 a2 10 当图象过c时 a3 8 a 2 故a的取值范围为故选b 剖析 结合指数函数的图象知 图象应在过b c两点的图象之间 为避免错误 也可把图象过a b c时的a值求出 再作比较得出a的范围 正解 作出平面区域m同上 求得a 2 10 c 3 8 b 1 9 由图可知 欲满足条件必有a 1且图象在过b c两点的图象之间 当图象过b时 a1 9 a 9 当图象过c时 a3 8 a 2 故a的取值范围为 2 9 故选c 答案 c 错源二平面区域不明致误 剖析 题目给出的区域边界两 静 一 动 可以画出区域 利用数形结合解决 本题很容易在分析动直线的位置时出错 这个错误就出现在当直线y k x 1 1的斜率为正值时 误以为三条直线仍然能够构成三角形 这样做的结果是k的取值范围是 1 0 2 2 正解 如图所示 直线y k x 1 1过定点 1 1 当这条直线斜率为负值时 该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方 即直线的斜率为 1 可构成三角形区域 当直线的斜率为正值时 y k x 1 1所表示的是直线y k x 1 1及其下方的半平面 这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域 不能构成三角形 当直线斜率为0时 构不成平面区域 因此k的取值范围是 1 答案 1 评析 一条直线ax by c 0把平面分成两个半平面 在每个半平面内的点 x y 使ax by c值的符号一致 判断ax by c的符号可以采用特殊点等 在解决平面区域问题时要结合直线的各种情况进行分析 不要凭直觉进行解答 如本题看似简单 实际上在考试中做对并不容易 两条定直线构成一个三角形区域 但对于那条动直线 当斜率为正和为负时 是很容易弄错的 技法一最优整数解问题对于线性规划问题中的最优整数解的问题 当解方程组得到的解不是整数时 可用下面方法求解 1 平移找解法 先打网格 描整点 平移直线l 最先经过或最后经过的整点便是最优整点解 这种方法应充分利用非整点最优解的信息 结合精确的作图才行 当可行域是有限区域且整