新课标下微积分内容教学的现状与思考.doc

新课标下微积分内容教学的现状与思考24中学数学研究2008年第9期新课标下微积分内容教学的现状与思考山东临沭一中(276700)王峰晨微积分的内容在中学教材中几进几出,00年之前的大纲与考纲只要求到数列极限,函数极限与导数定积分都是选学内容,o0年开始的新教材几乎是大学微积分内容的缩编版,从数列极限,函数极限,函数的连续,可导到导数的概念,应用,只是定积分的内容属选学内容,04年起的新课标则又出现了新的变化,完全删除了数列极限,函数极限,没有连续的内容,只有导数及其应用,但之前作为不考察内容的定积分出现在了课标和考纲之中.从07年新课标的高考来看,作为新增内容定积分考察的比较普遍.在短短的几年之内经历了三套教材的变化,深切的感受到一次又一次的变化尤其是实验教材的变化对教学特别是对高考的影响.下面就个人在高中微积分教学中遇到的问题谈一点看法.一,极限内容的删除给学生学习以及更深地理解数学带来不便.微积分中的基本概念是函数,极限,实数,导数,积分等,其中极限是微积分的基础.微积分的产生和发展都是建立在用极限的方式认识数学事物的基础上的.极限是重要的数学思想之一,也是人们认识世界的一种重要的思维方式,它和我们以前学到的思维方式有很大的不同.其一,极限的删除给一些与极限相关的初高中数学内容的学习带来障碍.不止在微积分内容中,在初中到高中的很多内容中都已有极限的例子如初中学习二次函数当一十时,函数的图象是趋向无穷的.在高中指数函数中,当a>1时,一十.时,函数的图象又是怎样接近轴的.在统计学中,概率怎样反映事件发生的可能性的大小.在统计学中,频率分布直方图是怎样变化成正态分布曲线的.在三角函数中,周期是怎样对函数的图象产生影响的.在双曲线内容L中,Y=-.i-为什么称为双曲线的渐近线.如此之a多的内容都涉及到极限的方法或思想.学生已经有了这么多的关于极限的直接体验,把极限内容删去的直接后果就是上述的那些都成了失去基础的摆设.失去了极限理论的支持,学生理解这些问题只是停留在想象的层面上.在数学课程标准研制组编写的数学课程标准(实验)解读中,他们这样叙述删去极限的原因先讲极限,把导数作为一种特殊的极限来讲,于是,形式化的极限的概念就成了学生学习的障碍,严重影响了对导数思想和本质的认识和理解.其实我们在老教材中不讲导数,也照样说讲极限,而那时数列极限在高考题中几乎是每年必考.它是一种重要的数学思想,是看问题的态度.怎么能说要理解好导数就删去产生导数的极限呢?极限是学习导数必需的,不应该成为学习导数的障碍.其二,导数概念和定积分概念的教学带来不便.实验教材上没有哪怕一点的极限内容包括符号,但在表述导数的概念时,教材上还是堂而皇之的写上了厂():lim羔,连起码I的说明和渎法都没有介绍,学生根本就不知道这是什么,更不知道这是什么意思.教材处理定积分时先用极限的思想把曲边梯形进行无限的分割,学生的疑问是显而易见的,怎么好好的一个曲边梯形就成了矩形了呢?缺乏了极限理论的阐释和系统的训练,在应用的时候必然遇到困难.然后又进一步把概念的产生过程总结为分割,近似替代,求和,取.hL极限且)dx),这里面无论从概念到符号哪一点少了对极限的理解都不行.这样的结果真成了他们自己说的无论是导数概念,还足导数的应用,更多的是作为一种规则来教,来学,影响_r对导数思想和本质的认识和理解.他们说学极限会带来这样的后果,其实删去极限这样的结果会更加严重,特别是对一些优秀的学生,直接的后果就是对于导数之于函数的几何意义以及导数在解决函数深层次的问题时显得悟性不2008年第9期中学数学研究25够,比如说讲求函数的切线时学生就是不明白有多个交点为什么还是切线.其三,对于认识函数的影响.06年高考有这样一道题目:例1(06年全国I卷)设函数.厂()=e一e.(1)证明i厂()的导数厂(X)2;(2)若对所有都有厂()aN,求a的取值范围.对于(2),最直接的方法是把原式变成e一eaN在0时恒成立.当=0时,左边=0,右边=0,此时a为任意实数.当x>0时,则a<,这种分离参数的方式可以把.的取值范围x转变为一个不含参的函数的最小值问题,由导数的定义,易判断出函数在(0,+.)上为增函数,如何求其最小值呢?如果有极限的概念及运算,n一我们会很容易得到g()>g(o)=lim,又由罗比达法则,得lim=lim=2,综l上所述,a的取值范围是(一,2.这种方法却因为极限的概念及运算等问题把学生挡在了门外,而采取了作差构造函数进行含参函数的讨论.学生在高中阶段就培养极限的理念,这样的理念的建立在对事物的观察与理解之上的,是深刻的.若到大学之后再重新学习极限,全是纯理论方面的阐述且缺乏老师的精心讲解与反复的训练,学生对这一思想方法的理解和领悟必将陷入一种混沌状态.缺乏了对极限思想的深刻理解和领悟,必将影响整个微积分乃至高等数学的学习.综上所述,高中阶段的教学中,无论从实用的角度还是为以后大学的学习的角度,在高中讲一些极限知识都是十分有必要的.如果怕学生理解不好,就把教材编排的更接近学生的生活和实际,少作一些形式化的训练,多一些深入生活的引导,你得相信高中数学老师的水平和智慧.二,有了导数以后,认识函数仍然困难.有人总结说初中数学就学习了数,高中数学就学习了函数.老教材上其实只有函数的定义,奇偶性和定义法解决的单调性,还有就是一些基本初等函数,稍复杂一点的函数都没有办法去认识其图象和性质.新教材中补充了缩编版的微积分以后,基本可以把一个函数的图象和性质认识清楚.在新课标下又出现了问题,其一就是上面谈过的删去了极限的问题,其二就是想准确的把函数图象作出来的话,还缺了一个函数的极为重要的特征一函数的凹凸性.其实作为函数的一个基本特征,从单调性到凹凸性是很自然的事情.在竞赛数学中,与函数凹凸性有关的琴生不等式出现在竞赛大纲上,那时高中数学中还没有导数.导数已经进入高中数学又快十年了,而函数的这一基本特征还是原地不动.特别是在05,06,07年各省的高考题中大量出现关于函数的凹凸性的题目,我们不得不好好的审视函数凹凸性与导数的关系.实验教材上就函数的凹凸性也作了一些引导和尝试.如高中数学人教版必修(A版)第53页B组第5题:证明:(1)若,()=ax+6,则1=,I1)十2)一;(2)若g()=+ax+J,则gf华1,Ig(1)+g(2)一上述题目中,学生就体会了单调性相同的而凹凸性不同的函数的区别.实验教材的尝试不止于此,在必修的第三章函数与方程第二节几类不同增长的函数模型中,教材比较了指数函数,对数函数,幂函数在递增时的不同,也让学生体会了函数单调性相同凹凸性不同的不同结果.在实际教学过程中,不讲函数的凹凸性的已经不多了.甚至在平时的练习和测验中,学生已经把使用凹凸性的结论即_厂()0或f()0与琴生不等式等作为一个知识点使用得比较纯熟了,并且解决了一些用常规方法解决起来非常麻烦的方法.例如例2(武汉市高中毕业生二月调研测试题)已知函数.厂()=+2+alnx.(I)若函数-厂()在区间(0,1上恒为单调函数,求实数a的取值范围;()当t1时,不等式2t一1)2f(t)一326中学数学研究2008年第9期恒成立,求实数0的取值范围.解:(I)略,()法1(构造函数法)令g(t)=2t一1)一t)+3,(t1),因为g(t)=21厂(2t一1)一厂()=2(一1)2一(1),当n2,由于t(2t一1)1,故g(t)0,从而当t1,+)时g(t)为增函数,g(t)g(1)对任意的tE1,+o.)恒成立.当.>2时,g()=二=8(卜1)(一争)t(2t一1)因为<?<(?,)时,g(t)<0即g(t)是减函数,于是g(t)<g(1)=0,与题意不符,舍去.综上,实数0的取值范围是(一,2.法2由)=+2+alnx,x1,+),所以I厂(1)=1+2+0=3,又由-厂(2t一1)2/(t)一3,可得2t一1)2/(t)一_厂(1),即_二二)=1,又1,+),所以2t一11,+)在1,+)上为下凸函数,所以()=2x+2+()=2一0即n2x在1,+)恒成立,故有n2.两种方法的优劣是显而易见的,在考试时间有限的情况下,能在短时问内把法1想出来并写出来我觉得没有可能,而法2简单易行,更重要的是抓住了题目的本质特征.从学生的选择上看,没有一个学生用法1,作出来的学生都用了法2,更加说明了方法的优劣.学生的需要应该是教师努力的方向.从这些方面可以看出,函数的凹凸性引入高中数学已经具备了可能性和必要性.如果具备了极限和凹凸性这两个工具,学生就可以研究高中阶段的任一个函数的图象和性质.在高等数学中,关于函数特征的内容不过才三节:函数的单调性和极值,函数的拐点与凹凸性,函数的图象,并且讲过之后就不再使用.而高中生如果具备了研究函数的图象和性质的能力,将会大大改变高中数学的格局,原来关于函数的值域与最值的求法,一元二次方程根的分布,求参数的范围,不等式恒成立的问题,数列,三角函数等等将统统失去特有的和奇怪的方法而统一归到函数导数的门下.那将更好的体现数学的统一性,产生更多的通性通法,对高中数学的教学产生很好的促进,让学生更好的学习函数.三,建立一个合理的微积分的知识体系.常常要求学生让学生把知识结构化,网络化,但新课表的微积分的体系在哪里呢?其实高中阶段只是需要一个认识函数的微积分体系,对于那些复杂的如连续,可导等问题不必学习和研究.高中的函数以基本初等函数及简单复合为主,用不到那许多的理论,建立一个能够有效的认识函数的体系即可.通过一二的叙述我们大概的可以把这个系统的知识点列举出来:函数的极限,导数与单调性,函数的凹凸性(二阶导数).然后在作一些研究函数图象的训练即可.以上是在教学与处理高考题的时候遇到的一些与微积分有关的不便.需要即发展的方向,课程改革当然是为了减轻学生的负担,在减负的同时,更应当去提高学生的数学素养.怎样搭建一个易学易懂,轻松而高效的知识体系,需要在实践中不断的摸索前进.从老教材到新教材再到实验教材,都是把学生应会的,有利于学生学习和发展的东西吸纳进来,把一些生涩的,复杂的和无用的剔除出去.希望新课标的研制者可以体