《系统时域分析》PPT课件.ppt

3系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点连续时间LTI系统的响应连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质离散时间LTI系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质冲激响应表示的系统特性 3 1线性时不变系统的描述及特点 本节内容如何建立连续时间系统和离散时间系统的数学模型 线性时不变 LinearTimeInvariance LTI 系统的特点 解令表示质点在第k秒末的行程 则根据题意 有即上式中待求变量的序号 最多相差2 称为二阶差分方程 3 1线性时不变系统的描述及特点 例3 5 一质点沿水平方向作直线运动 其在某一秒内所走过的距离等于前一秒所行距离的2倍 试列出描述该质点行程的方程 3 1线性时不变系统的描述及特点 连续LTI系统用N阶常系数线性微分方程描述 ai bj为常数 离散LTI系统用N阶常系数线性差分方程描述 ai bj为常数 线性时不变 LTI 系统的描述 3 1线性时不变系统的描述及特点 线性时不变系统的特点 LTI系统除具有线性特性和时不变特性 还具有 1 微分特性或差分特性 若T f t y t 则 若T f k y k 则T f k f k 1 y k y k 1 2 积分特性或求和特性 若T f t y t 则 若T f k y k 则 3 2连续时间LTI系统的响应 经典时域分析方法零输入响应求解零状态响应求解 一 经典时域分析方法 微分方程的全解即系统的完全响应 由齐次解yh t 和特解yp t 组成 齐次解yh t 的形式由齐次方程的特征根确定 特解yp t 的形式由方程右边激励信号的形式确定 一 经典时域分析方法 齐次解yh t 的形式 1 特征根是不等实根s1 s2 sn 2 特征根是等实根s1 s2 sn s 3 特征根是成对共轭复根 一 经典时域分析方法 常用激励信号对应的特解形式 例3 8 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y 0 1 y 0 2 输入信号f t e tu t 求系统的完全响应y t 特征根为 齐次解yh t 解 1 求齐次方程y t 6y t 8y t 0的齐次解yh t 特征方程为 t 0 例3 8 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y 0 1 y 0 2 输入信号f t e tu t 求系统的完全响应y t 解 2 求非齐次方程y t 6y t 8y t f t 的特解yp t 由输入f t 的形式 设方程的特解为 yp t Ce t 将特解带入原微分方程即可求得常数C 1 3 t 0 例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y 0 1 y 0 2 输入信号f t e tu t 求系统的完全响应y t 解 3 求方程的全解 解得A 5 2 B 11 6 结论 齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的特性 而与激励信号的函数形式无关 被称为系统的自由响应或固有响应 特解的形式由激励信号所决定 称为强迫响应 经典法不足之处 若微分方程右边激励项较复杂 则难以处理 若激励信号发生变化 则须全部重新求解 若初始条件发生变化 则须全部重新求解 这种方法是一种纯数学方法 无法突出系统响应的物理概念 二 连续LTI系统的零输入响应 系统完全响应 零输入响应 零状态响应 1 系统的零输入响应是输入信号为零 仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应 数学模型 求解方法 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式 再由初始条件确定待定系数 解 系统的特征方程为 例3 10 已知某线性时不变系统的动态方程式为 y t 5y t 6y t f t t 0系统的初始状态为y 0 1 y 0 2 求系统的零输入响应yx t 系统的特征根为 y 0 yx 0 K1 K2 1y 0 y x 0 2K1 3K2 2 解得K1 5 K2 4 例 如图所示的电路 已知 电感电流为响应 求零输入响应 零状态响应和全响应 图2 3电路图 解 由例2 1可导出关于电流的微分方程 代入数据得 1 求ZIR 令上式中 有齐次方程 其特征方程为 得特征根 ZIR的形式为 式2 3 1 2 求ZSR 当时 系统的零状态响应是下面微分方程的解 该解由两部分组成 即 齐次解形式为 特解的形式应与激励相同 因激励为直流信号 可设为常数 令代入微分方程 得 故ZSR可写为 式 2 3 2 由题意可得且 根据图2 3 c 等效电路可得 在式 2 3 2 及其导数的关系式中令 有 将其代回式 2 3 2 得ZSR为 系统的全响应为 三 LTI系统的零状态响应 求解系统的零状态响应yf t 方法 1 直接求解初始状态为零的微分方程 2 卷积法 利用信号分解和线性时不变系统的特性求解 当系统的初始状态为零时 由系统的外部激励f t 产生的响应称为系统的零状态响应 用yf t 表示 2 系统的零状态响应 卷积法求解系统零状态响应yf t 的思路 1 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合2 求出单位冲激信号作用在系统上的响应 冲激响应h t h t T t 3 利用线性时不变系统的特性 即可求出任意信号f t 激励下系统的零状态响应yf t 卷积法求解系统零状态响应yf t 推导 由时不变特性 由均匀特性 由信号分解理论 T t h t T t k h t k T f k t k f k h t k 当 0时 上式可写成 卷积法求解系统零状态响应yf t 推导 由时不变特性 由均匀特性 由积分特性 例 已知LTI系统在f1 t 激励下产生的响应为y1 t 试求系统在f2 t 激励下产生的响应y2 t 解 从f1 t 和f2 t 图形可以看得出 f2 t 与f1 t 存在以下关系 根据线性时不变性质 y2 t 与y1 t 之间也存在同样的关系 例 已知某线性时不变系统的动态方程式为 y t 2y t 5y t 4f t 3f t t 0系统的初始状态为y 0 1 y 0 3 求系统的零输入响应yx t 解 系统的特征方程为 系统的特征根为 y 0 yx 0 K1 1y 0 y x 0 K1 2K2 3 解得K1 1 K2 2 例 已知某线性时不变系统的动态方程式为 y t 4y t 4y t 2f t 3f t t 0系统的初始状态为y 0 2 y 0 1 求系统的零输入响应yx t 解 系统的特征方程为