《线性代数运算》PPT课件.pptVIP

第六讲线性代数运算 5 1向量与矩阵的定义数学上矩阵是这样定义的 由个数排成m行n列的数表 称为m行n列矩阵 特别 当m 1时就是线性代数中的向量 记作 两个相同行相同列的矩阵称为同型矩阵 5 1 1矩阵的输入命令形式1 Table f i j i m j n 功能 输入矩阵 其中f是关于i和j的函数 给出 i j 项的值 命令形式2 直接用表的形式来输入功能 用于矩阵元素表达式规律不易找到的矩阵的输入 注意 1 要看通常的矩阵形式可以用命令 MatrixForm 2 对应上述命令形式 输入一个向量的命令为Table f j j n 或直接输入一个一维表 a1 a2 an 这里a1 a2 an是数或字母 例1 输入矩阵A 向量b 1 4 7 3 解 Mathematica命令In 1 a 12 3 0 2 1 56 8 45 21 91 3 6 81 13 4 Out 1 12 3 0 2 1 56 8 45 21 91 3 6 81 13 4 In 2 b 1 4 7 3 Out 2 1 4 7 3 例2 输入一个矩阵解 Mathematica命令In 3 Table Sin i j i 5 j 3 Out 3 Sin 2 Sin 3 Sin 4 Sin 3 Sin 4 Sin 5 Sin 4 Sin 5 Sin 6 Sin 5 Sin 6 Sin 7 Sin 6 Sin 7 Sin 8 In 4 MatrixForm Out 4 Sin 2 Sin 3 Sin 4 Sin 3 Sin 4 Sin 5 Sin 4 Sin 5 Sin 6 Sin 5 Sin 6 Sin 7 Sin 6 Sin 7 Sin 8 5 1 2几个特殊矩阵的输入1 生成0矩阵命令形式 Table 0 m n 功能 产生一个的0矩阵2 生成随机数矩阵命令形式 Table Random m n 功能 产生一个的随机数矩阵3 生成上三角矩阵命令形式 Table If i j a 0 i m j n 功能 产生一个非0元全为数a的下三角矩阵 5 生成三对角矩阵命令形式 Table Switch i j 1 a i 0 b i 1 c i 1 0 i m j n 功能 产生一个的三对角矩阵6 生成对角矩阵命令形式 DiagonalMatrix list 功能 使用列表中的元素生成一个对角矩阵 7 生成单位矩阵命令形式 IdentityMatrix n 功能 生成n阶单位阵 例3 构造的0矩阵 解 Mathematica命令In 5 Table 0 4 3 Out 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 In 6 MatrixForm Out 6 000000000000例4 构造一个的随机数矩阵 解 Mathematica命令In 7 Table Random 2 5 Out 7 0 46223 0 545335 0 423938 0 635765 0 792571 0 802126 0 372146 0 114424 0660867 0 0163719 例5 构造非0元全为2的4 5上三角矩阵 解 Mathematica命令In 8 Table If i j 1 0 i 4 j 4 Out 10 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 In 11 MatrixForm Out 11 1000110011101111 例7 生成三对角矩阵解 Mathematica命令In 12 Table Switch i j 1 a 0 b 1 c 0 i 6 j 6 Out 12 b a 0 0 0 0 c b a 0 0 0 0 c b a 0 0 0 0 c b a 0 0 0 0 c b a 0 0 0 0 c b 例8 生成对角矩阵解 Mathematica命令In 13 DiagonalMatrix a b c d Out 13 a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 d 例9 生成5阶单位矩阵 解 Mathematica命令In 14 a IdentityMatrix 5 Out 14 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 In 15 MatrixForm Out 15 1000001000001000001000001 5 2向量与矩阵的运算5 2 1基本运算 例10 计算解 Mathematica命令In 16 1 3 7 3 9 1 2 3 2 1 6 7 Out 16 3 6 5 4 15 8 例11 计算解 Mathematica命令In 17 5 1 2 3 3 5 1 Out 17 5 10 15 15 25 5 例12 求向量与的点积 解 Mathematica命令In 18 a b c e f g Out 18 ae bf cg例13 求向量 a b c 与矩阵的乘积 解 Mathematica命令In 19 a b c 1 2 3 4 5 6 Out 19 a 3b 5c 2a 4b 6c 例14 求矩阵与向量 a b 的乘积 解 Mathematica命令In 20 1 2 3 4 5 6 a b Out 20 a 2b 3a 4b 5a 6b 例15 求矩阵与的乘积 解 Mathematica命令In 21 a 1 3 0 2 1 1 In 22 b 1 3 1 0 0 1 2 1 2 4 0 1 In 23 a bOut 23 1 0 5 3 0 1 0 0 例16 求矩阵的逆 解 Mathematica命令In 24 A 1 2 3 4 2 3 1 2 1 1 1 1 1 0 2 6 Out 24 1 2 3 4 2 3 1 2 1 1 1 1 1 0 2 6 In 25 Inverse A Out 25 22 6 26 17 17 5 20 13 1 0 2 1 4 1 5 3 例17 求矩阵的逆 解 Mathematica命令In 26 Inverse a b c d Out 26 例18 求矩阵的转置 解 Mathematica命令In 27 A 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 Out 27 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 In 28 Transpose A Out 28 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 2 2 方阵的运算求行列式命令形式 Det A 功能 计算方阵A的行列式求方阵的幂命令形式 MatrixPower A n 功能 计算方阵A的n次幂 求矩阵的k阶子式命令形式 Minors A k 功能 求出矩阵A的所有可能的k阶子式的值 例19 求A的行列式解 Mathematica命令In 29 Det a b c d Out 29 bc ad例20 求矩阵的2次幂 解 Mathematica命令In 30 MatrixPower 1 2 3 4 2 Out 30 7 10 15 22 例21 求矩阵的所有2阶子式的值 解 Mathematica命令In 31 Minors 1 2 3 2 3 4 2 Out 31 1 2 1 例22 某农场饲养的动物所能达到的最大年龄为15岁 将其分为三个年龄组 第一组 0 5岁 第二组6 10岁 第三组成11 15岁 动物从第二年龄组起开始繁殖后代 经过长期统计 第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代 第三组在其年龄段平均繁殖3个后代 第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别是1 2和1 4 假设农场现有三个年龄段的动物各1000头 问15年后农场饲养的动物总数及农场三个年龄段的动物各将达到多少头 指出15年间 动物总增长多少头及总增长率 解 年龄组为5岁一段 故将时间周期也取5年 15年经过3个周期 用k 1 2 3分别表示第一 二 三个周期 xi k 表示第i个年龄组在第k个周期的数量 由题意 有如下矩阵递推关系 即利用Mathematica计算有 In 32 L 0 4 3 1 2 0 0 0 1 4 0 x0 1000 1000 1000 In 33 Do x0 L x0 Print x0 3 Out 33 7000 500 250 2750 3500 125 14375 1375 875 结果分析 15年后 农场饲养的动物总数将达到16625头 其中0 5岁的有14375头 占总数的86 47 6 10岁的有1375头 占8 27 11 15岁的有875头 占5 226 15年间 动物总增长13625头 总增长率为13625 3000 454 16 5 3解线性方程组 命令形式 Solve eqns x1 x2 功能 求解以 x1 x2 为未知量的方程或纺方程组 注 eqns表示方程或方程组 其中的等号用两个等号 输入 例23 求方程组的解 解 Mathematica命令In 34 Solve 2x 3y 4 x y 1 x y Out 34 例24 求齐次方程的解 解 Mathematica命令In 35 Solve 5x1 4x2 3x3 2x4 x5 0 x1 Out 35 In 36 Solve 5x1 4x2 3x3 2x4 x5 0 x5 Out 36 x5 5x1 4x2 3x3 2x4 例25 求非齐次方程的解 解 Mathematica命令In 37 Solve 2x1 7x2 3x3 x4 6 3x1 5x2 2x3 2x4 4 9x1 4x2 x3 7x4 2 x1 x2 x3 x4 Out 37 5 4求矩阵特征值和特征向量 命令形式1 Eigenvalues A 功能 求出方阵A的全部特征值 命令形式2 Eigenvalues N A 功能 求出方阵A的全部特征值的数值解 注意 命令1有时不能求出特征值 而命令2总能求出特征值的近似值例26 求矩阵的特征值 解 Mathematica命令In 38 A 2 1 1 1 2 1 1 1 2 Out 38 2 1 1 1 2 1 1 1 2 In 39 Eigenvalues A Out 39 4 1 1 例27 求矩阵的特征值 解 Mathematica命令In 40 A 2 1 1 1 2 1 1 3 2 In 41 Eigenvalues N A Out 41 4 56155 1 0 438447 得三个特征值4 56155 1 0 438447 例28 求矩阵的特征值 解 Mathematica命令In 43 A 3 7 3 2 5 2 4 10 3 In 44 Eigenvalues N A Out 44 1 1 7763610 15 1 I 1 7763610 15 1 I 得三个特征值1 1 7763610 15 1 I 1 7763610 15 1 I 5 4 2求矩阵特征向量命令命令形式1 Eigenvectors A 功能 求方阵A全部特征向量 命令形式2 Eigenvectors N A 功能 求方阵A全部特征向量的数值解 例29 求矩阵的特征向量 解 Mathematica命令In 47 A 2 1 1 1 2 1 1 1 2 Out 47 2 1 1 1 2 1 1 1 2 In 48 Eigenvectors A Out 48 0 57735 0 57735 0 57735 0 0 707107 0 707107 0 816497 0 408248 0 408248 得三个特征向量为 0 57735 0 57735 0 57735 0 0 707107 0 707107 0 816497 0 408248 0 408248 例30 求矩阵的特征向量 In 49 Eigenvectors N A Out 49 0 816497 0 408248 0 408248 0 6742 3 8218110 18I 0 40452 0 13484I 0 26968 0 53936I 0 6742 3 8218110 18I 0