《线性代数总复习》PPT课件.pptVIP

总复习 第一章行列式 1 了解行列式的概念 3 会用行列式的性质和展开定理计算行列式 2 掌握行列式的性质和展开定理 4 掌握几种特殊行列式的计算 5 会用克莱母 Cramer 法则 第二章矩阵 2 理解逆矩阵的概念 掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件 理解伴随矩阵的概念 会求逆矩阵 3 掌握矩阵的初等变换 了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念 4 了解分块矩阵及其运算 1 理解矩阵的概念 了解单位矩阵 对角矩阵 三角矩阵 对称矩阵 以及它们的性质 掌握矩阵的线性运算 转置 乘法 方阵的幂与方阵的行列式 第三章向量线性关系秩 1 理解n维向量的概念以及向量的线性运算 2 理解向量组的线性组合与线性表示的概念 3 理解向量组线性相关 线性无关的定义 了解并会用向量组线性相关 线性无关的有关性质及判别法 4 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念 会求向量组的极大无关组和秩 理解向量组等价的概念 5 理解矩阵秩的概念及与向量组秩的关系及其计算 第四章线性方程组 1 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件 2 理解齐次线性方程组的基础解系和通解的概念 掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法 3 理解非齐次线性方程组的解的结构和通解的概念 4 会用消元法求解线性方程组 第五章线性空间与线性变换 1 了解向量空间 子空间 维数 基底 坐标等概念 2 了解基变换和坐标变换公式 会求过渡矩阵 3 了解线性变换的概念 会求线性变换的矩阵 5 了解规范正交基 正交矩阵的概念 以及它们的性质 4 了解Euclid 欧几里得 空间及内积的概念 掌握将线性无关向量组正交化的施密特 Schmidt 正交化方法 第六章矩阵的特征值与特征向量 1 了解矩阵的特征值和特征向量的概念及其求法 2 了解矩阵的特征值和特征向量的性质 3 了解相似矩阵的概念及性质 4 掌握将 实对称 矩阵 正交 相似对角化的方法 第七章二次型 1 掌握二次型及其矩阵表示 了解二次型秩的概念 了解合同变换与合同矩阵的概念 了解二次型的标准形和规范形的概念以及惯性定理 2 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法 会用配方法化二次型为标准形 3 理解正定二次型和正定矩阵的概念 掌握其判别法 典型例题 1 计算 24页 11 1 3 4 12 2 051 2 4 4分 设 1 2 3均为3维列向量 记矩阵A 1 2 3 B 1 2 3 1 2 2 4 3 1 3 2 9 3 如果 A 1 求 B 解法一 B 1 2 3 1 2 2 4 3 1 3 2 9 3 1 2 3 2 3 3 2 5 3 1 2 3 2 3 3 2 3 2 1 2 3 2 3 3 3 2 1 2 2 3 2 1 2 3 2 A 2 B 1 2 3 1 2 2 4 3 1 3 2 9 3 解法二由于 所以 解A 1BA 6A BA B AB 6A A 1B 6E B B 6A AB B 6 E A 1A 即 49页 10 11 12 18 4 041 2 设A是3阶方阵 将A的第1列与第2列交换得B 再把B的第2列加到第3列得C 求满足AQ C的可逆矩阵Q 解由已知有 B AP 1 2 C BP 2 3 1 所以有 Q P 1 2 P 2 3 1 于是 C AP 1 2 P 2 3 1 解由于 所以 a 0或a 10时 1 2 3 4线性相关 a 0时 由于 此时R A 1 1是一个极大线性无关组 且有 2 2 1 3 3 1 4 4 1 a 10时 由于 可见 此时R A 3 1 2 3是一个极大线性无关组 且 4 1 2 3 64页 6 7 12 15 解由于方程组的增广矩阵为 可见 当 4 5时 R A 2 R A b 3 方程组无解 当 4 5 且 1时R A R A b 3 方程组有唯一解 当 1时 有 所以 有R A R A b 2 方程组有无穷多解 且通解为 或写成 也可以写成向量形式 解由于A 0 所以存在某个Aij 0 于是R A n 1 又由于Ax b的解不唯一 故R A n 于是R A n 1 B 所以 方程组Ax 0的解空间是1维的 故应选 B 78页 5 79页 9 1 7 117页 2 2 3 3 1 2 8 135页 2 2 3 5 行列式的概念 定义由n个数1 2 3 n所组成的一个有序数组称为一个n级排列 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列叫做偶排列 其中 ti是比pi大的且排在pi前面的数的个数 定理对排列进行一次对换 改变排列的奇偶性 定义 行列式的性质 性质1行列式与其转置行列式相等 即D DT 性质2行列式可以按行 列 提取公因子 行列式的性质 性质3行列式两行 列 互换 行列式变号 性质4行列式某两行 列 元素相同 则行列式为零 性质5行列式某两行 列 元素成比例 则行列式为零 行列式的性质 性质6若行列式的某一行 列 的元素都是两个数之和 则行列式可分成两个行列式之和 行列式的性质 性质7行列式某一行 列 的若干倍加到另一行 列 对应的元素上 行列式不变 行列式展开定理 行列式展开定理 行列式的值等于其任何一行 列 元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 关于代数余子式的重要性质 Cramer法则及其应用 Cramer法则若D 0 则Ax b有唯一解 xi Di D 解判定Ax 0有非零解 A 0 Ax 0只有零解 A 0 Ax b有唯一解 A 0 Ax b无解 A 0 Ax b有无穷多解 A 0 特殊行列式的计算 对角行列式 上 下 三角行列式 对角线元素乘积 二 三阶行列式 对角线法则 特殊行列式的计算 Vandermonde行列式 线性运算 乘法 转置 方阵的幂 方阵的行列式 AB A B A B为同阶方阵 A B A B为同型矩阵 行和列都相等 AB A的列数等于B的行数 AB BA AB 0推不出A 0或B 0 AB AC或BA CA推不出A 0或B C 矩阵的运算 kA kn A A B A B 逆矩阵 可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵 若AB E 或BA E 则A可逆 且B A 1 A为方阵 A 1 1 A AT 1 A 1 T kA 1 1 kA 1 AB 1 B 1A 1 逆矩阵的计算 A可逆 A 0 A 1 1 A Ak 1 A 1 kA k A B 1 A 1 B 1 伴随矩阵 A A n 1 A 1 A A A 1 A可逆时 AA A A A E A可逆时有A A A 1 AT A T cA cn 1A AB B A Ak A k A A n 2A n 2时有 初等变换与初等矩阵 初等变换与初等方阵的关系 初等变换 ri rj k ri rj kri ci cj k ci cj cri 初等矩阵 P i j P i k P i j k 矩阵的等价 A经初等变换变成B 称A与B等价 P 1 i j P i j P 1 i k P i 1 k P 1 i j k P i j k 分块对角矩阵 分块对角矩阵 分块对角矩阵 设A为n阶方阵 若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块 其余子块都为零矩阵 且非零子块都是方阵 即 则称A为分块对角矩阵 分块对角矩阵具有性质 a A A1 A2 As b 定义给定向量组 1 2 m 若存在一组数k1 k2 km 使 k1 1 k2 2 km m 则称向量 可由向量组 1 2 m线性表示 也称向量 是向量组 1 2 m的线性组合 称可互相线性表示的两个向量组等价 向量组的线性表示 向量 可由向量组 1 2 m线性表示当且仅当线性方程组x1 1 x2 2 xm m 有解 向量 可由向量组 1 2 m线性表示当且仅当向量组 1 2 m和 1 2 m 有相同的秩 反之 线性方程组Ax b有解当且仅当常向量b可由系数矩阵A的列向量组线性表示 如果矩阵A可经过初等行 列 变换变成矩阵B 则矩阵A和矩阵B的行 列 向量组等价 若C AB 则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示 而且矩阵B的各列恰是对应的表示式系数 向量组的线性表示 实际上 由 可得 i b1i 1 b2i 2 bmi m 若C AB 则矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示 而且矩阵A的各行恰是对应的表示式系数 如果 则向量 能用 1 2 m唯一线性表示 而且此时有 向量组的线性表示 则表示式为 a1 1 a2 2 am m 这是因为 1 2 m x 即 x1 1 x2 2 xm m 的解为 x1 a1 x2 a2 xm am 如果 则向量 能用 1 2 m线性表示 但表示式不唯一 设此时有 向量组的线性表示 则表示式为 a1 c1r 1k1 c1mkm r 1 ar crr 1k1 crmkm r r k1 r 1 km r m k1 k2 km 2 R 定义若存在一组不全为零的数k1 k2 ks 使 k1 1 k2 2 ks s 0 则称向量组 1 2 s线性相关 否则称线性无关 向量组的线性相关性 向量组 1 2 s线性相关 线性无关 齐次线性方程组x1 1 x2 2 xs s 0有非零解 只有零解 反之 齐次线性方程组Ax 0有非零解 只有零解 矩阵A的列向量组线性相关 线性无关 R A s R A s 向量组 1 2 s s 2 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余s 1个向量线性表示 定理1若向量组有一个部分组线性相关 则此向量组线性相关 向量组的线性相关性 定理3设向量组 1 2 s线性无关 而向量组 1 2 s 线性相关 则 可由 1 2 s线性表示 且表示式唯一 定理2设向量组 1 2 s线性无关 将每个 i增加若干个分量得到的新的加长向量组仍然线性无关 推论含有零向量的向量组必线性相关 推论线性无关向量组的任一部分组也线性无关 1 2 r线性无关 1 2 r 线性相关 是向量组中任一向量 定义若向量组T中的某个部分组 1 2 r 满足 则称 1 2 r是此向量组的一个极大线性无关向量组 向量组的最大无关组和秩 称r是此向量组的秩 记为R T r 矩阵的秩等于行向量组的秩也等于列向量组的秩 向量组与它的任一极大线性无关组等价 若列向量组 1 2 r线性无关 则当 1 2 r A 0时 有A 0 其中A是矩阵 向量组的最大无关组和秩 推论1等价的线性无关向量组含有相同个数的向量 定理若向量组 1 2 s可由向量组 1 2 t线性表示 则R 1 2 s R 1 2 t 推论3向量组 1 2 p线性无关 且可由向量组 1 2 q线性表示 则p q 推论2等价的向量组具有相等的秩 推论4向量组 1 2 p可由向量组 1 2 q线性表示 且p q 则向量组 1 2 p线性相关 推论5任意n 1个n维向量线性相关 线性方程组的表示 矩阵形式 Ax b Ax 0 向量形式 x1 1 x2 2 xn n 注意 方程组有解和系数矩阵 行列式 增广矩阵 以及向量组的线性表示 线性相关性之间的关系 x1 1 x2 2 xn n 0 解空间为V x k1 1 k2 2 kn r n r ki R 是n r维的 通解为 x k1 1 k2 2 kn r n r ki R 基础解系 Am nx 0 x1 1 x2 2 xn n 0 齐次线性方程组 有非零解 R A r n 1 2 n线性相关 若 只有零解 R A n 1 2 n线性无关 非齐次方程解 齐次方程解 非齐次方程解 Am nx b x1 1 x2 2 xn n b 非齐次线性方程组 无解 R A R A b b不能由 1 2 n线性表示 唯一解 R A R A b n 1 2 n线性无关且b可由 1 2 n线性表示 无穷多解 R A R A b n 1 2 n线性相关且b可由 1 2 n线性表示 非齐次方程解 非齐次方程解 齐次方程解 非齐次方程通解 非齐次方程特解 齐次方程通解 若R A R A b r n 通解中含有n r个任意实数 如果向量空间的一个基为 1 2 r 向量 可表示为 a1 1 a2 2 ar r 则称 a1 a2 ar T为向量 在基 1 2 r下的坐标 向量空间 对向量空间V1和V2 若V1 V2 称V1是V2的子空间 定义若非空向量集合V上定义了线性运算 满足8条性质 则称V是一个向量空间 把向量空间看成向量组 其极大线性无关组就是向量空间的基 其秩就是向量空间的维数 如果向量空间的一个基为 1 2 r 则有 V 1 1 2 2 r r 1 2 r R 定义设 1 2 n和 1 2 n是V的两个基 矩阵C满足 1 2 n C 1 2 n 则称矩阵C是基 1 2 n到基 1 2 n的过渡矩阵 过渡矩阵是可逆的 向量空间 过渡矩阵 定理设 1 2 n和 1 2 n是线性空间V的两组基 如果向量 在这两组基下的坐标分别为x x1 x2 xn T y y1 y2 yn T 则x Cy 其中C是过渡矩阵 向量空间 定义设 是线性空间VK到VK的一个映射 且满足 VK k K都有 则称 为VK的一个线性变换 k k 若 1 2 n 1 2 n A 即 矩阵A的第j列为向量 j 在基 1 2 n下的坐标 矩阵A称为线性变换 在基 1 2 n下的矩阵 向量空间 定义设 a1 a2 ar T b1 b2 br T 则称 a1b1 a2b2 arbr为向量 和 的内积 称 1 2 a12 a22 ar2 1 2为向量 的长度 模 定义了内积的线性空间称为Euclid 欧几里得 空间 由线性无关向量组 1 2 m 得到正交向量组 1 2 m的方法称为Schimidt 斯密特 正交化过程 再取 i i i 便得规范正交向量组 若 0 则称向量 和 正交 定义一组两两正交的非零向量称为正交向量组 由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组 向量空间 定义在n维向量空间V中 含有n个向量的正交向量组称为V的正交基 由单位向量构成的正交基称为规范正交基 1 2 n为规范正交向量组 i j ij 定义若实方阵A满足AAT E 则称A是正交矩阵 n阶实矩阵A是正交矩阵 A的行 列 向量组是规范正交向量组 正交矩阵A的行列式等于 1 特征值 特征向量及其求法 定义设A是n阶方阵 如果数 和n维非零列向量 满足关系式 则称 为A的特征值 为A的属于 的一个特征向量 A det E A 称为方阵A的特征多项式 det E A 0称为方阵A的特征方程 A的特征值就是特征方程的解 n阶方阵A有n个特征值 A的属于特征值 i的特征向量就是齐次线性方程组 iE A x 0 的所有非零解 对角矩阵和三角矩阵对角线元素恰是n个特征值 1 1 2 n a11 a22 ann 特征值 特征向量的性质 2 1 2 n A 3 若 是A的特征值 f t 是t的多项式 则f 是f A 的特征值 且对应的特征向量相同 4 若 1 2是A对应 的特征向量 则k1 1 k2 2 0 也是A对应 的特征向量 5 矩阵对应不同特征值的特征向量必线性无关 6 实对称矩阵的特征值都是实数 7 实对称矩阵对应不同特征值的特征向量都正交 8 实对称矩阵r重特征值恰有r个线性无关特征向量 相似矩阵 定义设A B都是n阶方阵 若存在可逆矩阵P 使 P 1AP B 对A进行运算P 1AP B称为对A进行相似变换 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵 则称B是A的相似矩阵 或说矩阵A与B相似 A与B相似记作A B 定理相似矩阵有相同的特征多项式 因此也有相同的特征值 注意 定理的逆命题不成立 若A B 则Ak Bk f A f B Ak P 1BkP 矩阵相似对角化 定理n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量 若P 1AP diag 1 2 n 则 1 2 n是A的n个特征值 矩阵P的n个列向量恰是A的n个特征向量 也有 A P P 1 实对称矩阵A必能与对角矩阵相似 对实对称矩阵A 必有正交矩阵Q 使Q 1AQ 二次型的基本概念及表示方法 定义含有n个变量x1 x2 xn的二次齐次函数 只含平方项的二次型 1x12 2