人教A版数学选讲4-1第二节.pptVIP

第二节直线与圆的位置关系 圆锥曲线性质的探讨 一 圆周角 O为圆心 A B C D为圆上任意四点 则 ACB ADB AOB O为圆心 A B C D为圆上任意四点 且 CAD ACB 则有 O为圆心 A B C D为圆上三点 且BC为圆的直径 则有 BAC 90 O为圆心 A B C为圆上三点 且 BAC 90 则BC为圆的直径 二 圆的切线 三 弦切角定理及其推论 AB是 O的切线 BAC的度数等于的度数 AB是 O的切线 BAC的度数等于 ADC的度数 四 圆中的比例线段 五 圆内接四边形的性质定理和判定定理 四边形ABCD内接于 O A C B D 在四边形ABCD中 A C 或B C 则四边形ABCD内接于圆 六 平行射影设直线l与平面 相交 称直线l的方向为投影方向 过点A作平行于l的直线 称为投影线 必交 于一点A 称点A 为A沿l的方向在平面 上的平行射影 一个图形上各点在平面 上的平行射影所组成的图形 叫做这个图形的平行射影 七 平面与圆柱面的截线定理1 圆柱形物体的斜截口是椭圆 八 平面与圆锥面的截线定理2 在空间中 取直线l为轴 直线l 与l相交于O点 夹角为 l 围绕l旋转得到以O为顶点 l 为母线的圆锥面 任取平面 若它与轴l的交角为 当 与l平行时 记 0 则 1 平面 与圆锥的交线为椭圆 2 平面 与圆锥的交线为抛物线 3 平面 与圆锥的交线为双曲线 1 一平面截球面产生的截面形状是 它截圆柱面所产生的截面形状是 答案 圆圆或椭圆2 如图所示 圆O的直径AB 6 C为圆周上一点 BC 3 过C作圆的切线l 过A作l的垂线AD 垂足为D 则 DAC 解析 由弦切角定理 可知 DCA B 60 又AD l 故 DAC 30 答案 30 3 2011年湖南 11 如图 A E是半圆周上的两个三等分点 直径BC 4 AD BC 垂足为D BE与AD相交于点F 则AF的长为 4 如图 EB EC是 O的两条切线 B C是切点 A D是 O上两点 如果 E 46 DCF 32 则 BAD 解析 由已知 显然 EBC为等腰三角形 因此有 ECB 67 因此 BCD 180 ECB DCF 81 而由A B C D四点共圆 有 BAD 180 BCD 99 答案 99 5 如图 已知P是 O外一点 PD为 O的切线 D为切点 割线PEF经过圆心O 若PF 12 PD 4 则圆O的半径长为 EFD的度数为 答案 430 考点一圆周角定理及应用圆周角定理建立了圆周角与圆心角之间的关系 并通过圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系实现了圆中的角 圆心角 圆周角 线段 弦 弦心距 弧之间相等关系的相互转化 从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法 圆周角定理及其推论最突出的特点便是具有同弧或等弧上圆周角位置移动的灵活性 解题时要注意发挥圆周角的这一特点 并注意与其他知识的联系与综合运用 已知 O是 ABC的外接圆 I是 ABC的内切圆 A 80 那么 BOC BIC 思路点拨 由 A的度数易得 BOC的度数 然后抓住圆的切线性质及三角形内角和可得到 BIC的度数 自主解答 如图 A 80 由一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 得 BOC 2 A 160 又 在 ABC中 A 80 ABC ACB 180 80 100 又 IBC ABC ICB ACB IBC ICB ABC ACB 100 50 在 IBC中 BIC 180 50 130 答案 160 130 1 如图 已知 ACB CDB 60 AC 3 则 ABC的面积S是 自主解答 ACB CDB 60 A ABC是边长为3的等边三角形 所以S 考点二圆内接四边形的性质与判定圆内接四边形的性质定理是圆中探求角的相等或互补关系的常用定理 使用时要注意观察图形 要弄清四边形的外角和它的内对角的位置 其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据 解题时要注意与圆周角定理 圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系以及垂径定理的联系与综合 如图所示 已知AP是 O的切线 P为切点 AC是 O的割线 与 O交于B C两点 圆心O在 PAC的内部 点M是BC的中点 1 证明A P O M四点共圆 2 求 OAM APM的大小 思路点拨 1 证出四边形OPAM对角互补即可 2 作出四边形OPAM的外接圆 自主解答 1 证明 连结OP OM 如图 1 所示 因为AP与 O相切于点P 所以OP AP 因为M是 O的弦BC的中点 所以OM BC于是 OPA OMA 180 由圆心O在 PAC的内部 可知四边形APOM的对角互补 所以A P O M四点共圆 2 解 连结OA 如图 2 所示 由 1 得A P O M四点共圆 所以 OAM OPM 由 1 得OP AP 又圆心O在 PAC的内部 可知 OPM APM 90 所以 OAM APM 90 2 如图 已知AB CD是 O的两条弦 且AB CD OE AB OF CD 垂足分别是E F 则结论 AOB COD OE OF 中 正确的有 个 自主解答 同圆或等圆中 等弦所对的圆心角相等 所对的弧相等 所对的弦心距相等 故 成立 又由得 正确 答案 4 考点三圆的切线的判定与性质 弦切角定理及应用1 要证明某直线是圆的切线时 如果已知直线过圆上某一点 那么连结这点和圆心 证明直线垂直于半径 如果不知道直线和圆有没有公共点 则过圆心作直线的垂线 证明圆心到直线的距离等于半径 已知某直线是圆的切线时 切点的位置一般是确定的 辅助线常常是连结圆心和切点 2 弦切角定理沟通了弦切角与圆周角之间的关系 进一步完善了圆中的角 线段 弧之间的相互转化关系 为圆中的证明和计算提供了有力的工具和方法 解题时常采取 顺弧找角 的方法找相等的角 如图 AB为 O的弦 CD切 O于P AC CD于C BD DC于D PQ AB于Q 求证 PQ2 AC BD 思路点拨 欲证PQ2 AC BD 只需证明AC PQ PQ BD 图中没有产生比例中项的条件 需要通过过渡比来解决 连结PA PB 利用弦切角定理 得到不相邻的两对直角三角形分别相似 自主证明 连结PA PB 如图所示 CD切 O于P 1 2 AC CD于C PQ AB于Q ACP PQB 90 ACP PQB AC PQ AP BP 同理 BDP PQA PQ BD AP BP AC PQ PQ BD 即PQ2 AC BD 3 已知弦AB与 O半径相等 连接OB并延长使BC OB 1 问AC与 O的位置关系是怎样的 2 试在 O上找一点D 使AD AC 自主解答 1 AB与 O半径相等 OAB为正三角形 OAB 60 OBA 又 BC OB AB BAC 30 故 OAC 90 AC与 O相切 2 延长BO交 O于D 则必有AD AC BOA 60 OA OD D 30 又 C 30 C D 得AD AC 考点四与圆有关和比例线段相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具 应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征 另一方面在与定理相关的图形不完整时 要用辅助线补齐相应部分 在实际应用中 见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理 见到两条割线就要想到割线定理 见到切线和割线时就要想到切割线定理 思路点拨 AB EC是相交弦 且AM MB的长已知 EC的长可求 故可利用相交弦定理通过列方程求解EM 4 如图 圆O的割线PA过圆心O 弦CD交PA于点F 且 COF PDF PB OA 2 则PF 考点五圆锥曲线性质的探讨圆柱 圆锥的截线问题注意选择恰当的轴截面以及截面的倾斜角对截线性质的影响 12分 已知圆锥面S的母线与轴的夹角为30 有一平面 不过圆锥面顶点S 与圆锥面的轴线成60 角 且相交于E点 且SE 4 求此截面与圆锥面的交线的形状 并计算交线的离心率 焦距及Dandelin双球的半径 思路点拨 根据圆锥面的母线与轴的夹角 平面与圆锥面的轴线所成角的关系判断交线的形状 根据判断的结果求出圆锥曲线中的参数a c 从而求出焦距 5 如图 有一个底面半径为2 高为6的圆柱形玻璃杯 装满了水 然后缓慢倾倒 当倒出杯水后 此时水面形状如图 求此时水面与杯壁交出的曲线的离心率 一 填空题 1 如图 P是圆O外一点 过P引圆O的两条割线PB PD PA AB CD 3 则PC 答案 2 2 如右图 PT切 O于点T PA交 O于A B两点 且与直径CT交于点D CD 2 AD 3 BD 6 则PB 解析 由相交弦定理得DC DT DA DB 则DT 9 由切割线定理得PT2 PB PA 即 PB BD 2 DT2 PB PB AB 又BD 6 AB AD BD 9 PB 6 2 92 PB PB 9 得PB 15 答案 15 3 2010年汕头一检 如图 AB是圆O的直径 直线CE和圆O相切于点C AD CE于D 若AD 1 ABC 30 则圆O的面积是 解析 在 O中 ACD ABC 30 且在Rt ACD中 AD 1 AC 2 AB 4 又 AB是 O的直径 O的半径为2 圆O的面积为4 答案 4 4 如图 PA切 O于点A 割线PBC经过圆心O OB PB 1 OA绕点O逆时针旋转60 到OD 则PD的长为 5 如图 PT为 O的切线 T为切点 PA是割线 它与 O的交点是A B 与直径CT的交点是D 已知CD 2 AD 3 BD 4 那么PB等于 答案 20 6 2011年湖南六校联考 14 如图 点A B C都在 O上 过点C的切线交AB的延长线于点D 若AB 5 BC 3 CD 6 则线段AC的长为 二 解答题7 如图 AB是 O的直径 C F为 O上的点 且CA平分 BAF 过点C作CD AF交AF的延长线于点D 求证 DC是 O的切线 证明 连接OC 所以 OAC OCA 又因为CA平分 BAF 所以 OAC FAC 于是 FAC OCA 所以OC AD 又因为CD AF 所以CD OC 故DC是 O的切线 8 如图 AB是半圆的直径 C是AB延长线上一点 CD切半圆于点D CD 2 DE AB 垂足为E 且E是OB的中点 求BC的长 9 2011年高考新课标全国卷 选修4 1 几何证明选讲 如图 D E分别为 ABC的边AB AC上的点 且不与 ABC的顶点重合 已知AE的长为m AC的长为n AD AB的长是关于x的方程x2 14x mn 0的两个根 证明 C B D E四点共圆 若 A 90 有m 4 n 6 求C B D E所在圆的半径 10 创新预测题 如图所示 AB为 O的直径 BC CD为 O的切线 B D为切点 1 求证 AD OC 2 若 O的半径为1 求AD OC的值 解析 1 如图 连接BD OD CB CD是 O的两条切线 BD OC 2 3 90 又AB为 O的直径 AD DB 1 2 90 1 3 AD OC 2 AO OD 1 A 3 且 ADB ODC 90 Rt BAD Rt COD AD OC AB OD 2 本单元是新课标的新增内容 是天津 辽宁 陕西 湖南 广东 海南 宁夏 江苏选考内容 所以在高考中一定会有所体现 题型为填空题或解答题 难度不大 主要考查圆的切线定理 切割线定理 相交线定理 圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等 主要侧重与圆有关的比例线段问题的考查 预测2013年高考圆的切线定理 切割线定理 相交弦定理 圆周角定理及圆内接四边形的判定与性质等仍将是考查的重点 方法指导 1 圆幂定理与圆周角 弦切角联合应用时 要注意找相等的角 找相似三角形 从而得出线段的比 由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算 所以应注意代数法在解题中的应用 2 证明四点共圆的常用方法 1 证明四个点与某个定点距离相等 2 如果某两点在另两点所确定的线段的同旁 证明这两