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文档简介

第三节行列式性质 线性代数 一 行列式的性质 性质1行列式与它的转置行列式相等 行列式称为行列式的转置行列式 记 性质2互换行列式的两行 列 行列式变号 说明行列式中行与列具有同等的地位 因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 说明如果换奇数次改变符号 换偶数次不改变符号 推论如果行列式有两行 列 完全相同 则此行列式为零 证明 互换相同的两行 有 见书中例1 3 P12 13 性质3行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数 等于用数乘此行列式 推论行列式的某一行 列 中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 例3 因为行列式D是一个数 所以由D D可知行列式D 0 主对角线上的元素为0 而以主对角线为轴 两边处于对称位置上的元素异号 这样的行列式称为反对称行列式 即若是反对称行列式 则它满足条件 由上例可证明 任意一个奇数阶反对称行列式必为零 性质 行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式为零 证明 看书上例4 5 P14 性质5若行列式的某一列 行 的元素都是两数之和 则D等于下列两个行列式之和 例如 看书上例6 P15 性质 把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一数然后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式不变 例如 看书上例7 8 P16 定理行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 证 同理 关于代数余子式的重要性质 例 二 行列式的计算 计算行列式常用方法 1 利用运算把行列式化为上三角形行列式 从而算得行列式的值 2 按某一行或列展开 把行列式的除数降低 化高阶为低阶 植树 1 造林 0 解 例2计算阶行列式 解 将第都加到第一列得 证 用数学归纳法 先对第N 1行乘以 X1 再加到第N行上面去 n 1阶范德蒙德行列式 看书上例9 19 P17 22 行列式中行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 计算行列式常用方法 1 利用定义 2 利用性质把行列式化为上三
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