第八章热传导方程的傅氏解.doc

第八章 热传导方程的傅氏解（11）一、 内容摘要1传导（扩散）混合问题： 其解为： 2初始条件3边界条件 ： 第一类边界条件： 第二类边界条件： 第三类边界条件：时的第二类边界条件称为绝热条件。4Fourier 积分 对于定义在上的非周期函数，在任一有限区间上分段光滑，则在该区间上函数可以展开为Fourier级数：Fourier 积分为：Fourier 积分还可以改写为如下形式：5初值问题的Fourier解法 热传导方程的初值问题： 其解为： 6Fourier 解的物理意义 考虑具有单位横截面积的细杆上,在区间上有,而在区间外有.这时温度函数为:考虑极限,此时有:也就是说:t = 0时刻，x0处的瞬时点热源在杆上产生了上述温度分布。也就是说,在处强度为的瞬时点热源产生的温度分布为。 在细杆上所有点上，初始温度分布的总作用就是有这些点源的作用叠加得到： 7 一端有界的热传导问题： 定解问题其解为： 一、习题1考虑长为的均匀杆的导热问题若（1）杆的两端温度保持零度；（2）杆的两端均绝热；（3）杆的一端为恒温零度，另一端为绝热。试写出该导热问题在以上三种情况下的边界条件。2长为的柱形管，一端封闭，另一端开放，管外空气中含某种气体，其浓度为，向管内扩散，写出该扩散问题的定解问题。3设初始温度为，长为的均匀细生铁杆，当杆的一端温度为，而另一端及杆的侧面对于周围介质热绝缘时，求杆中的温度分布。4求解下列定解问题。（1） （2）（3）（4）（5）5求解厚度为的层状铀块中，中子扩散运动满足的定解问题 三、参考答案1解：设杆的温度为 则(1) ；(2) 因为当沿杆长方向有热量流动时由Fourier实验定律有： 其中，为热流强度。而杆的两端绝热，就意味着杆的两端与外界没有热交换，亦即没有热量的流动（），故有： (3)显然，此时有： 以上三种情况均为齐次边界条件，这是日后学习分量变量法时常常会用到的。2解：设端封闭，则该端没有气体的流动，故由扩散定律有：，又由于开放的一端与管外相通，应与管外空气中的气体浓度一样，所以有：。故该扩散问题的定解问题为： 3解：本题等价于下列定解问题： 其中；令:，我们易找到一个即满足泛定方程，又满足非齐次边界条件得解，即：因而，满足下列定解问题： 解出上述定解问题，最后本题的解为： ，其中4解:(1) 令，把它代入泛定方程，完成分离变量，并利用边界条件，可得：。及本征问题： 此问题中，边界条件是第二类及第三类，因而本征值。记，把通解代入，得，从而。再由： ，得。因A不能再为零，于是：，这个超越方程有无限多个根，我们只要考虑它的正根就行了。如令表示第n个根，则得第n个本征值为：而相应的本征函数为：。把代入T的方程得：。至此，已求得了满足泛定方程和边界条件得特解族。再把这些特解叠加，即得到级数解： .最后，由初始条件便得：于是，这里，把代入前述级数，即得解为： .(2) 由于对应的齐次问题具有第一类边界条件，故令代入方程和初始条件得：即： 其中 式的解为： 将、代入式得故得原定解问题的解为：(3)令 并选 则 - )式简化为： 令 ，代入和得： 其中：则方程的解为： 代入初始条件得所以于是有 (11) 将和(11)两式一并代入得：（4）没有现成的公式可套，我们直接按分离变量法的四个步骤来求解:1)分离变量，即令： 则式变为：即于是式变为： 而式变为：，即由式得：2）解本征值问题：，则得：3）将代入式得：解之得： 、两式代入式得： 4）叠加，用初始条件定系数： 代入式得：，比较两边的系数得：代入式，于是得原定解问题的解为：（5）方程是非齐次的,代入方程得.令,所以得 . 同时有 ；. 令 ，得 因为,.又因为,所以 ,而 . 所以 因为,得.对上式两边同乘,积分得,所以.所以最后得 .5解：1） 令 代入方