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第二章 平面向量习题例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.（1）平行向量一定方向相同？ （2）不相等的向量一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？（8）向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；（9）单位向量都相等；（10）任一向量与它的相反向量不相等；（11）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同例2下列命题正确的是（ ）A.与共线，与共线，则与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点.C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行例3已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.例4（1）一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h（2）一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度.（3）一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.（4）一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.例5O为平行四边形ABCD平面上的点，设=a， =b， =c， =d，则A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0例6（1）如右图，在四边形ABCD中，根据图示填空：a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .（2）在ABC中， =a， =b，则等于( )A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a例7如右图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d. 例8. （1）如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=a，=b，用a，b表示，和 （2）已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+=4例9.（1）如图，不共线，=t (tR)用，表示. （2）设，不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且=(1-t) +t.求证：A、B、P三点共线. 例10（1）设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a =e1+e2(、R)D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =e1+ue2(、uR)（2）已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定（3）已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )A.3 B.-3 C.0 D.2例11已知三个力 (3， 4)， (2， -5)， (x， y)的合力+=，求的坐标.例12（1）若M(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求P点的坐标（2）若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则-2= .（3）已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD是梯形例13已知a=(4，2)，b=(6， y)，且ab，求y.例14已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？例15(1)若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且ab，则y=（ ） (2)已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为 .例16若向量a=(-1，x)与b=(-x， 2)共线且方向相同，求x例17 判断正误，并简要说明理由.00；0；0；若0，则对任一非零有；，则与中至少有一个为0；对任意向量，都有（）（）；与是两个单位向量，则.例18 已知，当，与的夹角是60时，分别求.例19已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|a-b|= .例20已知|a|=1，|b|=，(1)若ab，求ab；(2)若a、b的夹角为，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.例21已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直，a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角.例22 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和例23已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为，则(a+2b)(a-3b)等于（ ）A.72 B.-72 C.36 D.-36例24设|a|=3，|b|=5，且a+b与ab垂直，则 .例25（1）已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150，则(a+b) .（2）已知|a|=2，|b|=5，ab= -3，则|a+b|=_，|a-b|= .例26 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求满足xa = 9与xb = -4的向量x.例27