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空间向量的正交分解及其坐标表示 共线向量定理 复习 共面向量定理 平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐标表示 问题 我们知道 平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示 平面向量基本定理 对于空间任意一个向量 有没有类似的结论呢 一 空间向量的坐标分解 给定一个空间坐标系和向量且设为空间两两垂直的向量 设点Q为点P在所确定平面上的正投影 一 空间向量的坐标分解 由此可知 如果是空间两两垂直的向量 那么 对空间任一向量 存在一个有序实数组 x y z 使得我们称为向量在上的分向量 空间向量基本定理 都叫做基向量 探究 在空间中 如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量 你能得出类似的结论吗 如果三个向量不共面 那么对空间任一向量 存在有序实数组 使 叫做空间的一个基底 1 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底 特别提示 对于基底 除了应知道不共面 还应明确 2 由于可视为与任意一个非零向量共线 与任意两个非零向量共面 所以三个向量不共面 就隐含着它们都不是 3 一个基底是指一个向量组 一个基向量是指基底中的某一个向量 二者是相关连的不同概念 例1设且是空间的一个基底 给出下列向量组 其中可以作为空间的基底的向量组有 A 1个B 2个C 3个D 4个 分析 能否作为空间的基底 即是判断给出的向量组中的三个下向量是否共面 由于是不共面的向量 所以可以构造一个平行六面体直观判断 设 易判断出答案 C 例题讲解 例题讲解 二 空间直角坐标系 以建立空间直角坐标系O xyz 若A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 则 练习1如图在边长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 取D点为原点建立空间直角坐标系 O M P Q分别是AC DD1 CC1 A1B1的中点 写出下列向量的坐标 探究 向量运算的坐标表示 练习一 2 求下列两个向量的夹角的余弦 1 求下列两点间的距离 例题 例1已知 求 1 线段的中点坐标和长度 解 设是的中点 则 点的坐标是 解 设正方体的棱长为1 如图建立空间直角坐标系
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