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第七章 一 向量代数 二 空间曲面与曲线 空间解析几何与向量代数 三 空间的平面与直线 1 直角坐标系与向量的坐标 向径 1 点M 有序数组 也称为点M的坐标 2 向量的坐标 则 一 向量代数 距离公式 2 模 3 向量方向余弦的坐标表示式 方向余弦的特征 5 投影定理 设 6 线性运算 设 7 向量的数量积 8 向量的向量积 结果是一个数量 结果是一个向量 且符合右手规则 9 向量位置关系 例1 已知向量 的夹角 且 解 在顶点为 三角形中 求AC边上的高BD 解 三角形ABC的面积为 例2 而 故有 例3 解 注意 向量的运算与标量的运算是不一样的 不能随意的套用 思考 提示 二 空间曲面与曲线 1 空间曲面 三元方程 球面 柱面 二元方程 如 曲面 表示母线平行z轴的柱面 又如 圆柱面 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面等 圆柱面 抛物柱面 平面 练习 问方程 表示什么曲面 抛物柱面 1 定义 以一条平面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周 这条定直线叫旋转曲面的轴 所生成的曲面称为旋转曲面 曲线叫旋转曲面的母线 yoz面上的曲线f y z 0绕z轴旋转一周所成的旋转 曲面的方程 yoz坐标面上的已知曲线f y z 0绕y轴旋转一周的 旋转曲面的方程为 旋转曲面 2 方程 3 圆锥面 方程的特点 叫标准圆锥面 如下图 三元二次齐次方程 是上半圆锥面 叫标准圆锥面 旋转抛物面 1 椭球面 p q同号 2 椭圆抛物面 常用的二次曲面及其方程 或参数方程 2 空间曲线 三元方程组 设空间曲线 消去z 得投影柱面 得C在xoy面上的投影曲线 与xoy面方程联立 求投影曲线 消去x得C在yoz面上的投影曲线方程 消去y得C在zox面上的投影曲线方程 例1 将下列曲线化为参数方程表示 解 1 根据第一方程引入参数 2 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 例2 求曲线 绕z轴旋转的曲面与平面 的交线在xoy平面的投影曲线方程 解 旋转曲面方程为 交线为 此曲线向xoy面的投影柱面方程为 所以此曲线在xoy面上的投影曲线方程为 它与所给平面的 如 所围的立体在xoy面上的投影区域为 上半球面 和锥面 在xoy面上的投影曲线 二者交线 所围圆域 二者交线在 xoy面上的投影曲线所围区域 消去z得投影柱面 空间平面的方程 1 一般式 2 点法式 3 截距式 1 空间直线与平面的方程 三 空间的平面与直线 一般式 对称式 参数式 空间直线的方程 为直线的方向向量 为直线上一点 面与面的关系 平面 平面 2 线面之间的相互关系 3 夹角公式 直线 线与线的关系 直线 3 夹角公式 平面 面与线间的关系 直线 1 L 2 L 3 夹角公式 3 相关的几个问题 1 平面束 定义 定理 设平面 以上方程不包括平面 平面确定的平面束 通过两相交平面交线的所有平面称为由这两个 2 点 的距离为 到平面 Ax By Cz D 0 练习 求点 2 1 0 到平面3x 4y 5z 0的距离 06研数一 到直线 的距离 为 3 点 4 平面与各坐标平面的夹角 实际上是与各坐标轴的夹角 实际上是的法向量的三个方向角 例1 求直线 与平面 的交点 解 化直线方程为参数方程 代入平面方程得 从而确定交点为 1 2 2 经验 计算线与面 线与线的交点时 一般用直线的参数式较简单 例2 研究以下两平面的位置关系 两平面平行 所以两平面平行但不重合 解 又如 直线 线在面上吗 例3 设一平面平行于已知直线 且垂直于已知平面 求该平面法线的 的方向余弦 解 已知平面的法向量 求出已知直线的方向向量 取所求平面的法向量 所以 例4 求直线 在平面 上的投影直线方程 解 已知直线与已知平面的交点为 则过点P与已知平面 垂直的直线方程为 例4 求直线 在平面 上的投影直线方程 另解 过已知直线的平面束方程 从中选择 得投影平面 即 使其与已知平面垂直 从而得投影直线方程 这是已知平面 这是投影平面 过L与垂直 例5 求过直线L 且与平面 夹成 角的平面方程 解 过