数学分析教案(首页).doc

九江学院理学院 数学分析教案 数学分析教案（首页）适用班级： 课时90分钟课题1函数极限的概念 编号14教学目的要求：掌握；函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限重点难点：重点：函数极限的分析定义难点：分析定义证明实施步骤方法教 学 内 容 提 要时间一、 组织上课二、 导入新课讲授“讲授法”“举例法”“提问法”“比较法”三、 课后总结四、 课后任务1、 数列极限回忆2、 时函数的极限定义及几点注记3、 利用的定义验证极限等式举例4、 时函数的极限的定义及几点说明5、 例46、 单侧极限板 书 设 计极限通俗定义一、时函数的极限(一)引言(二) 时函数极限的定义(三) 几点注记(四) 利用的定义验证极限等式举例例1证明例2证明1）；2） 二、时函数的极限(一) 引言(二) 时函数极限的定义(三) 函数极限的定义的几点说明例 4 证明：1）； 2）三、单侧极限单侧极限的定义函数极限与的关系课外作业P39： 1(1)(5)、2、6(3)（课堂教学效果记录在首页背面）后附讲稿（或讲授提纲）共 6 页第三章 函数极限在数学分析中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例，。通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列这种变量即是研究当时，的变化趋势.我们知道，从函数角度看，数列可视为一种特殊的函数，其定义域为，值域是，即; 或或.研究数列的极限，即是研究当自变量时，函数变化趋势.此处函数的自变量n只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即.但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于一种呢？类似于数列，可考虑自变量时，的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势, .由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化.但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限.下面，我们就依次讨论这些极限.1函数极限的概念一、时函数的极限(一)引言设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数.这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质. 例如无限增大时，无限地接近于0；无限增大时，无限地接近于；无限增大时，与任何数都不能无限地接近.正因为如此，所以才有必要考虑时，的变化趋势.我们把象，这样当时，对应函数值无限地接近于某个定数的函数称为“当时有极限”.问题 如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.(二) 时函数极限的定义定义1设为定义在上的函数，为实数.若对任给的，存在正数，使得当时有 , 则称函数当时以为极限.记作或.(三) 几点注记1、 定义1中作用与数列极限中作用相同，衡量与的接近程度，正数的作用与数列极限定义中相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数，而不仅仅是正整数n.2、的邻域描述：当时，3、的几何意义：对，就有和两条直线，形成以为中心线，以为宽的带形区域.“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域内.如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数，使得曲线在的右边的全部落在这个更窄的带形区域内.4、现记为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近于常数，则称当或时时以为极限，分别记作，或，或.这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，简写如下：当时，当时，.5、推论 设为定义在上的函数，则.(四) 利用的定义验证极限等式举例例1证明.证 任给，取 ，则当 时有 所以 。例2证明1）；2）.证 任给，由于 （1） 等价于，而此不等式的左半部分对任何都成立，所以只要考察其右半部分的变化范围。为此，先限制，则有故对任给的正数 ，只须取，则当时便有（1）式成立。这就证明了1）。类似地可证2）。注 从而当时不存在极限。二、时函数的极限(一) 引言先看下面几个例子：例1.（是定义在上的函数，当时，）.例2.（是定义在上的函数，当时，）.例3.（是定义在上的函数，当时，）.由上述例子可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数；但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当时，的变化趋势.我们称上述的第一类函数为当时以为极限，记作.和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法.不是严格的数学定义.那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量越来越接近于时，函数值越来越接近于一个定数”只要充分接近，函数值和的相差就会相当小欲使相当小，只要充分接近就可以了.即对，当时，都有.此即.(二) 时函数极限的定义定义2设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给的，使得当时有，则称函数当 趋于时以为极限（或称为时的极限），记作或（. (三) 函数极限的定义的几点说明1、是结论，是条件，即由推出.2、是表示函数与的接近程度的.为了说明函数在的过程中，能够任意地接近于，必须是任意的.这即的第一个特性任意性，即是变量；但一经给定之后，暂时就把看作是不变的了.以便通过寻找，使得当时成立.这即的第二特性暂时固定性.即在寻找的过程中是常量；另外，若是任意正数，则均为任意正数，均可扮演的角色.也即的第三个特性多值性；（）3、是表示与的接近程度，它相当于数列极限的定义中的.它的第一个特性是相应性.即对给定的，都有一个与之对应，所以是依赖于而适当选取的，为此记之为；一般说来，越小，越小.但是，定义中是要求由推出即可，故若满足此要求，则等等比还小的正数均可满足要求，因此不是唯一的.这即的第二个特性多值性.4、在定义中，只要求函数在的某空心邻域内有定义，而一般不要求在处的函数值是否存在，或者取什么样的值.这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关.所以可以不考虑在点a的函数值是否存在，或取何值，因而限定“”.5、定义中的不等式；.从而定义2，当时，都有，使得.6、定义的几何意义.例 4 证明：1）； 2）证 先建立一个不等式：当时有 （1） 事实上，在单位圆内，当时，显然有，即 ，由此立得（1）式。又当时有，故对一切都有；当时，由得。综上，我们又得到不等式， （2）其中等号仅当时成立。现证1）。由（2）式得。对任给的，只要取，则当时，就有。所以。三、单侧极限有些函数在其定义域上某些点