高中数学优良试题之研发.pdf

高中數學優良試題之研發 121 高中數學優良試題之研發 黃靜寧 老師 摘要 本文的目的在於就高中數學優良試題之研發 提供兩種方法 即如何針對大考 中心的測驗目標評選優良試題 以及如何將大考試題加以修題並應用於教學評量 前者在方法的應用上 首先著重於了解學科能力測驗與指定科目數學考科的測驗目 標 透過對大考試題的解析 再對應教學目標 從而了解優良試題的評量重點與其 涵蓋之數學觀念 至於後者 則是先將大考試題的解題過程與教學目標進行分析 參照答對率與鑑別度 進行適當之修題 二者之目的 皆在於希望教師透過研發高 中數學優良試題 提供教師教學模式之修正與調整的方向 或是增進教學與評量的 成效 進一步提升教學品質 關鍵字 高中數學 優良試題 優良試題的研發 測驗目標 試題解析 教學目 標 修題 評量 學科能力測驗 指定科目考試 麗山高中學報 第三期 122 壹 前言 大考中心每年為高三的學生舉辦兩次測驗 學科能力測驗 指定科目考試 兩次考試 三份試卷 約45 50題試題 對高中數學課程的教學影響深遠 每到考 季 不只考生焦慮 任教高三的數學教師也備感壓力 主因是數學這一科成績無論 在推薦甄試 申請的倍率篩選 或指考成績分發的加權計分 採計使用上相較其他 學科均是排名第一 數學學科中心透過 命題技術工作坊 結合不同學校數學教師的觀點與討 論 評選出歷屆大考的優良試題 每位教師再就各自專長命題 提供全國高中數學 教師參考 作為教學的教材或評量的工具 日後各校或各區的數學教師也可參照此 次 命題技術工作坊 的運作模式 就近結合周遭的數學教師 共同開發新的優良 試題 提升教學品質 在此 筆者就下列兩項主要內容 提出報告 供大家參考 一 命題技術工作坊 所評選的部分優良試題與大考中心測驗目標做相對應 二 如何應用大考試題加以修題 貳 優良試題與大考中心測驗目標之對應 一 學科能力的測驗目標 一 概念性知識 例如 能辨認某概念 能確認概念中的基本數學原理 例題 如右圖 兩直線 1 L 2 L之方程式分別為 1 L xayb 0 2 L xcyd 0 試問下列哪些選項是正確的 1 0a 2 0b 3 0c 4 0d 5 a c 出處 92 學年度學科能力測驗選填題第 6 題 高中數學優良試題之研發 123 試題解析 1 L 將x ayb 0化為 b yx aa 1 2 L 將x cyd 0化為 d yx cc 1 1 L的斜率 a 1 0 0a 1 0 c 0 1 L的 y 截距 b a 0且0a b 0且0c 0 1 L的斜率 2 L的斜率 a 1 c 1 ac 答案 4 5 測驗目標 能從圖形判斷直線斜率的正負與大小 與直線截距的意義 教學目標 此題測驗內容包含斜率與截距 評量重要而基礎之數學概念 只要先將直線的一般式化為y mxk 的形式 再對照圖形作 判斷即可作答 並無複雜的計算過程 但在大考中心公布統 計資料發現得分率為41 全對僅有32 顯示有學生直接 將直線方程式中 y的係數當斜率 常數項當成y 截距造成錯 誤 課堂上 教師有必要對學生強調直線方程式 只有斜截式 ymxk 才能同時判斷直線的斜率與y 截距 二 程序性知識 例如 能讀圖 查表 或運用適當的公式與步驟 例題 設a b 為正整數 若 2 9ba 且ab 2280 則a的最小可能值為 225 出處 97 學年度學科能力測驗選填題第 F題 試題解析 解法1 2 9ba 將 2 9 b a 代入a b 2280 2 2280 9 b b 2 18280 9bb 2 1825200bb 60 42 0bb 4260bb 且a為完全平方數 a的最小可能值為 2 15 225 解法2 22 93baa 且a b 為正整數 a為完全平方數 設 2 ak k 為正整數 22222 93 3 3bakkakbk 代入ab 2280 麗山高中學報 第三期 124 2 62800kk 20 14 0kk 14 20kor k 與 2 62800kk 兩個不等式 對學生而言 卻是考驗因式分解的功力 如何透 過讀題了解題意 選擇較方便解題的假設 在解題過程中 減 少繁瑣的計算 是平日練習過程必須培養的能力 三 解決問題的能力 例如 能應用數學知識 選擇有效策略及推理能力解決問題 並能檢驗結 果的合理 性與正確性 例題 已知平面坐標上圓 22 1 7 1 144Oxy 與 22 2 2 13 9Oxy 相切 且此兩圓均與直線 5L x 相切 若 為以L 為準線的拋物線 且同時通過 1 O與 2 O的圓心 則 的焦 點坐標為 化為最簡分數 出處 97 學年度學科能力測驗選填題第H題 試題解析 根據題意 為以L為準線的拋物線 且同時通過 1 O與 2 O的圓 心 利用拋物線的定義 拋物線上任一點到準線的距離與到 焦點的距離相等 設 1 O與 2 O即為圓心 由下圖可以得到 的焦點為圓 1 O與圓 2 O相切的點F 即F為 12 OO的內分點 且 1212 1234 1O FO Frr 利用內分點公式可得 的焦點坐標為 4 2 1 7 4 13 1 11 53 5555 高中數學優良試題之研發 125 測驗目標 能將圓與圓相切 圓與直線相切的關係轉化為拋物線的定義 教學目標 此題透過圓與圓外切 圓與直線相切的關係 應用在拋物線 上 學生必須能了解題目條件畫出幾何圖形與拋物線定義的 聯結 如上圖 圖中的F即為題目要求之 的焦點 才容易作 答 所以學生平時就要養成利用作圖來解題的習慣 教學現 場 應經常將代數式與幾何圖形作對應 強調 數形合一 的 重要性 當學生面對沒有圖形的代數式 才知如何下筆 二 指定科目數學考科的測驗目標 一 概念性知識 例如 能辨認某概念 能確認概念中的基本數學原理 例題 一正立方體的八個頂點中有四個頂點 各頂點彼此之間的距離都是 1 則此正立方體的體積為 1 22 2 4 2 3 1 4 2 出處 91 年數學甲單選題第 1 題 試題解析 藉由下圖找出符合條件的四個頂點 推出正立方體的邊長為 2 2 即可得正立方體的體積為 測驗目標 評量能否根據題意找出符合條件的四個頂點 教學目標 此題不同於常見的考法 採取逆向命題 平時應加強學生空間 幾何的推理能力 二 程序性知識 例如 能讀圖 查表 或運用適當的公式與步驟解題 例題 空氣品質會受到污染物排放量及大氣擴散等因素的影響 某一 機構為瞭解一特定地區的空氣品質 連續二十八天蒐集了該地 區早上的平均風速及空氣中某特定氧化物的最大濃度 再會製 這二十八筆資料的散佈圖 見下圖 現根據該圖 可知 1 此筆資料中 該氧化物最大濃度的標準差大於15 2 此筆資料中 該氧化物最大濃度的中位數為15 3 此筆資料中 平均風速的中位數介於45與50間 4 若以最小平方法數據集中趨勢的直線 則該直線的斜率小於0 麗山高中學報 第三期 126 出處 96 年數學甲多選題第8 題 試題解析 從這二十八筆資料的散佈圖 可得該氧化物最大濃度值介於 5 25 僅有一筆資料顯示該氧化物最大濃度值小於5 因此標 準差不可能大於15 全部資料共有28筆 樣本數為偶數 中位數應是中間兩個數的 平均值 28筆資料中僅有一筆是15 因此中位數不可能為15 橫坐標平均風速的資料則明顯看出中位數介於45與50間 全部28 筆資料由左上往右下分佈 數據集中趨勢的直線之斜率為負 答案 3 4 測驗目標 以散佈圖評量統計的基本概念 如標準差 中位數與數據集中 趨勢 教學目標 關於高中數學統計課程的教學 應著重於統計圖表的判讀 與 解釋統計量的意義 不宜對統計數據的計算作過度運算 三 閱讀與表達能力 例如 能讀懂題目 並以數學語言表達題目的涵意及解題的過程 例題 平面上坐標皆為整數的點稱為格子點 我們將原點以外的格子點分 層 方法如下 若 a b是原點 0 0以外的格子點 且a和b中最 大值為n 則稱 a b是在第n層的格子點 例如 3 4 是在第4層 8 8 是在第8層 則在第15層的格子點個數為 120 出處 96 年數學乙選填題第 B 題 試題解析 藉由坐標軸畫出第n層的格子點略圖 可以得到 第1層的格子點個數 4 4 4 2 1 高中數學優良試題之研發 127 第2層的格子點個數 4 4 4 2 2 第3層的格子點個數 4 6 4 2 3 第n層的格子點個數 n 42 故在第15層的格子點個數為 4 2 15 120 測驗目標 評量能否將題意轉化為數學語言 教學目標 培養能夠對於一個新的定義 自己動手操作 了解符號的意義 與數字的運算 透過觀察 歸納 發現規律的步驟 進而解決 問題 四 連結能力 例如 能融會貫通數學中不同領域的概念 或連結數學以外其他學科知識或 生活經驗 例題 假設 a b是整數 且 0b 已知 2 33 ab ci 是實係數一元二次方程 式 2 10 xkx 的一個解 請問下列哪些選項是正確的 1 1 c 是上述方程式的另外一個解 2 12 33 ab i c 麗山高中學報 第三期 128 3 1 ck c 4 k一定是整數 5 a一定是奇數 出處 96 年數學乙多選題第 6 題 試題解析 利用一元二次方程式根與係數的關係得知 2 10 xkx 的兩根 之積為1 兩根之和為k 當有一解為c 則另外一個解為 1 c 實係數方程式的虛根成對出現 故 12 33 ab i c 1 ck c 2 33 ab i 2 33 ab i 1 ab ab 22 22 2 129 99 當a 1時 b 2 又a 3 b 0 12 3 a ck c 不一定 是整數又ab 22 29且b22為偶數 故a 2 為奇數 a一定是奇數 答案 1 2 5 測驗目標 評量共軛複數 根與係數 與整數的概念 教學目標 此題測驗的內容為實係數方程式的複數根 虛根 成對出現與一 元二次方程式根與係數的關係 都是歷年常考的數學基本觀 念 但不曾結合兩者於同一題 所以此題答對率很低 尤其低 分群的學生更出現負值的得分率 因此應指導高三的學生在做 複習工作時 應花時間對不同章節相關的數學知識予以統整 五 推理論證的能力 例如 能應用數學模型與邏輯思考進行正確的推理或證明 例題 一實驗室培養兩種菌 令和 nn ab 分別代表兩種培養菌在時間點n 的數量 彼此有如下的關係 若二階方陣 高中數學優良試題之研發 129 A a b c d 滿足 3 3 A nn nn aa bb 其中 則 出處 94 年數學乙選填題第 E 題 試題解析 先由題意 轉成矩陣型式得 測驗目標 評量將遞迴關係式轉換成矩陣模式與矩陣的基本運算 教學目標 在大考中心的統計資料顯示此題的答對率是17 屬於偏難的試 題 由此可發現學生的推理論證的能力有待加強 此題解題過程 的兩個主要步驟分別是 1 將遞迴關係式改寫成矩陣模式 2 推論出 缺一不可 六 解決問題的能力 例如 能應用數學知識 選擇有效策略及推理能力解決問題 並能檢驗結果 的合理性與正確性 例題 因乾旱水源不足自來水公司計畫在下週一至週日的7天中選擇2天停止 供水 若要求停水的兩天不相連 則自來水公司共有多少種選擇方 式 答 15 種 出處 91 年數學乙選填題第 D 題 試題解析 由7天中任意選擇2天停止供水的選法有C 7 2 21種 相連兩天的選 法有6種應予扣除 故自來水公司共有 15 種選擇方式 測驗目標 題目設計的情境簡單易懂 以當年熱門的時事問題 評量學生排 列組合的能力 教學目標 無論那一個單元的教學 都應指導學生如何將概念性的數學知識 轉化為解決問題的能力 學生能將數學知識與生活相結合 才能 活用所學的數學知識 麗山高中學報 第三期 130 参 如何應用大考試題修題 範例1 參考試題1 92年度學測補考第F題 題目 設P為橢圓 1 259 22 xy 上的一點且位在上半平面 若 12 F F 為 之焦點 且 12 F PF 為直角 則P點的 y 坐標為 化為最簡分數 試題分析 項目PPhPlD參考答案 統計值0 0 01 解法1 結合橢圓與向量 內積 焦點坐標為 4 0 4 0 設P之坐標為 a b 則向量 而 12 F PF 為直角的充要條件是與之內積為0 及 16 0 22 ab 但25 1 9 2 2 b a 代入得 16 9 9 2 b 故 99 44 22 bb 解法2 結合橢圓與圓 利用幾何觀念 半圓上的圓周角為直角 求出以 12 F F為直徑的圓與橢圓 1 259 22 xy 在上半平面的交點之y 坐標即為所求 故解聯立方程式1 259 22 xy 與 16 22 xy 得 9 1681 4 2 yy 高中數學優良試題之研發 131 說明 此題因為是學測補考試題 所以就答對率或鑑別度而言 都不屬於優良試題 主要原因是參與考試的學生只有少數未通過第一次學測鑑定的學生 但題目本 身無論是 解法1 或 解法2 皆可評量出學生結合代數與幾何解題的能力 參考試題2 94年度學測第10題 題目 設 1 F與 2 F為坐標平面上雙曲線 22 1 916 xy 的兩個焦點 P為 上一點 使 得此三點構成一等腰三角形 試問以下哪些值可能是這些等腰三角形的周 長 1 20 2 24 3 28 4 32 5 36 試題分析 項目PPhPlD參考答案 統計值29 48 17 0 312 5 解法 1 F與 2 F為坐標平面上雙曲線 22 1 916 xy 的兩個焦點 故210 12 F Fc c為焦距 P為 上一點 26 12 PFPFa a為半貫軸長 使此三點構 成一等腰三角形 由等腰的條件知頂點為 1 F或 2 F 若 1 F為頂點而 2 PF為 底邊 10 1 PF 而PF 2 106或 106 故周長的可能值為10 10 4 24或 10 10 16 36 說明 學生對於答案是唯一性的試題 通常較有把握 但對於有多種情況符合 條件的試題 通常缺乏完備的思考 不易完整答對 關於這類的題型 平時需多舉例說明 修題過程 在參考試題1的兩種解法中 因筆者較偏好解法2 以參考試題1為題幹融入參考 試題2的精神設計了下面的題目 新題 設 12 FF 為坐標平面上橢圓 22 1 259 xy 的兩個焦點 點P在橢圓 上 試問下列哪些選項是正確 1 若 12 90FPF o且 P點在第一象限 則P點的坐標為 5 7 9 44 2 使得 12 90FPF o的 P點有4個 3 使得 12 FPF為直角三角形的P點有4個 麗山高中學報 第三期 132 4 若 12 FPF為直角三角形 則 12 FPF的周長 18 5 若 12 FPF為直角三角形 則 12 FPF的面積 9 解法 1 12 90FPF o且P 點在第一象限 P點為 22 1 259 xy 與 22 16xy 在第一 象限的交點 P 點的坐標為 5 7 9 44 1 正確 2 利用圖形對稱可知 在橢圓 上有4個P點滿足 12 90FPF o 2 正確 3 12 FPF為直角三角形包括90P o 12 90PFF o或 21 90PF F o 故下圖中 12 P FF或 12 P FF亦可 12 FPF為直角三角形的P點有8個 3 錯誤 4 點P在橢圓 上 12 10PFPF 且 12 8FF 故 12 FPF的周長 18恆正確 與 12 FPF 是否為直角三角形無關 4 恆正確 5 12 FPF為直角三角形的形狀有兩類 如上圖 12 FPF的面積可為9或 36 5 5 錯誤 說明 大考中心對於95暫綱的考試規劃 圓錐曲線式定位為學測考 數甲 數乙 皆標示為 表示不在該考科的直接命題範圍內 但試題有多種解法 時 若用此章節的概念或技巧解題 仍可得分 所以此題設計是定位在學 測試題 在五個選項中 1 5 是需要計算 但過程並不複雜 2 3 4 則 是評量重要而基礎之數學概念 由選項 1 到選項 2 的過程可評量學生的 連結能力 選項 3 則完整答對的關鍵 評量學生的推理論證的能力 修題 設 12 FF 為坐標平面上橢圓 22 1 259 xy 的兩個焦點 點P在橢圓 上 高中數學優良試題之研發 133 試問下列哪些選項是正確 1 若P點在第一象限且 12 90FPF o 則 P點的坐標為 5 7 9 44 2 使得 12 90FPF o的 P點有4個 3 使得 12 FPF為直角三角形的P點有4個 4 若 12 FPF為直角三角形 則 12 FPF的周長 18 5 若 12 FPF為直角三角形 則 12 FPF的面積 9 解法 12 90FPF o且P 點在第一象限 P點為 22 1 259 xy 與 22 16xy 在 第一象限的交點 P點的坐標為 5 7 9 44 1 正確 設 1 PFt 2 PFs 則 222 10 8 st st 2 264stst 18st 且P點的y坐標為 189 84 代入 得 2 72 16 s x P點在第一象限 5 7 4 x 5 7 9 44 P 利用圖形對稱可知 在橢圓 上有4個P點滿足 12 90FPF o 2 正確 12 FPF為直角三角形包括 90P o 12 90PFF o或 21 90PF F o 故下圖中 12 P FF或 12 P FF亦可 12 FPF為直角三角形的P點有8個 3 錯誤 麗山高中學報 第三期 134 點P在橢圓 上 12 10PFPF 且 12 8FF 故 12 FPF的周長恆等於18 4 恆正確 12 FPF為直角三角形的形狀有兩類 如上圖 若 FPF o 12 90 PFF 12 19 89 24 若 F FP o 21 90 或FF P o 12 90 則此時 1 9 5 PF 或 2 9 5 PF 則 PFF 12 1936 8 255 若 FPF o 12 90 由選項 1 的解法二知 12 18PF PF 12 1 189 2 PFF 由圖形即可觀察出 若 21 90F FP o 或 FF P o 12 90 12 9PFF 答案並非唯一值9 說明 經由學科中心的修題老師提供了更詳盡的解法 使得整個題目更加完 備 修題過的解法也讓筆者在往後教學 講解此題時 能對學生做更詳 盡的解說 範例2 參考試題 91 年數學乙選填題第 D 題 題目 因乾旱水源不足自來水公司計畫在下週一至週日的7天中選擇2天停止 供水 若要求停水的兩天不相連 則自來水公司共有多少種選擇方 式 答 15 種 試題分析 項目PPhPlD參考答案 統計值39 65 17 0 4815 7天中選擇2天停止供水 5天供水且停水的兩天不相連 2顆紅球與5顆白球排成一列 2顆紅球中至少有一顆白球 由6個 選出2個放紅球 6 2 15C 高中數學優良試題之研發 135 窮舉法 說明 1 爭議性 此題在當年考試後 有老師與學生提出星期日與星期一是否 為連續兩天 對題目提出質疑 學生無法判斷週日與週一為相連兩 天 實際上題目中 在下週一至週日的7天中 已明確告知只需考 慮下週 2 滿足題意的條件不多 很容易選擇 窮舉法 為避免類似的爭 議 筆者改變情境 重新命題 新題 某一班級在本學期中 每週有四節藝能課 包含兩節體育課 一節音樂課 與一節生活科技課 根據學校排課原則 1 兩節體育課不能排在同一天或相鄰的兩天 2 每班一天中最多只能有兩節藝能課 請問 該班級從星期一至星期五的課表 這四節藝能課的排課分布有多少 種不同的方法 只考慮此四節藝能課從星期一至星期五分布情形 不考慮在每天的哪一節課 解法1 2節體育課排在不相鄰的兩天方法數有 4 2 6 C 1節音樂課與1節生活科 技課任意排在星期一至星期五課表的方法數有5 5 25 但因為每班一 天中最多只能有2節藝能課 所以不可在已排有體育課的兩天將音樂課 與生活科技課同時排入 故全部的不同的排法 6 25 2 138 解法2 分類討論四節藝能課的排課分布情形 1 分布四天 2節體育課排在不相鄰的兩天方法數有 4 2 6 C 1節音樂課 與1節生活科技課任意排在剩下三天中的兩天的方法有 32 11 6 CC 6 6 36 2 分布三天 1節音樂課與1節生活科技課中有一節與2節體育課中的一 節在同一天 223 111 6 72CCC 1節音樂課與1節生活科技課排在 體育課外三天中的任一天 6 3 18 72 18 90 3 分布二天 1節音樂課與1節生活科技課各配1節體育課 6 2 12 將 1 2 3 中各種方法數加總36 90 12 138 範例3 參考試題1 94 學年度北區第二次學測模擬考第G題 題目 從一塊8 8 的固定正方形棋盤 每行 每列各有8格 上 選取兩個方 格 使得這兩個方格不在同一行也不在同一列 則選法有多少種 麗山高中學報 第三期 136 解法1 在64格任取兩格的方法數 64 2 C 1 兩格在同一行的方法數 88 12 CC 2 兩格在同一行的方法數 88 12 CC 3 1 2 3 648 22 2 8 1568CC 解法2 在64格任取1格後 再由去除該格所在的那一行與那一列剩下的49格中 任取1格 因所取兩格順序可交換故選法有 64 49 2 1568 參考試題2 95年度學測第2題 題目 在右圖的棋盤方格中 隨機任意取兩個格子 選出的兩個格子不在同 行 有無同列無所謂 的機率為 1 1 20 2 1 4 3 3 4 4 3 5 5 4 5 試題分析 項目PPhPlD參考答案 統計值40 73 9 0 645 解法1 1644 212 16 2 4 5 CCC C 解法2 11612 11 2 16 2 4 5 CC C 新題 在下圖5 5 的黑白相間的固定棋盤中 隨機選取1黑方格與1白方格 選出 的黑方格與白方格不在同一行也不在同一列 問選擇的方法有多少種 高中數學優良試題之研發 137 解法1 選取1黑方格與1白方格的方法數 13 12 156 選取的黑方格與白方格在同一行或同一列的選法 32 11 6CC 棋盤的行數 棋盤的列數 5 選擇的方法數 156 5 5 6 96 解法2 選取1黑方格的方法數13種分為兩類 1 同一行或同一列的黑方格數 3的有9格 此時與選中的黑方格不 在同一行也不在同一列 之白方格數 8 故選法有9 8 72種 2