高中数学课程标准中的演绎推理.pdf

2 0 0 6 年第 5 期 数 学 通 讯 9 高中数学课程标准中的演绎推理 中图分类号 G 6 3 3 6 田 野 中围科技大学数学系 安徽合肥 文献标识码 A 文章编号 0 4 8 8 7 3 9 5 2 0 0 6 0 5 一 o 0 9 0 3 在 普通高中数学课程标准 实验 选修 1 2 选修2 2 推理与证明中 要求 结合已 学过的数学实例和生活中的实例 体会演绎 推理的重要性 掌握演绎推理的基本方法 并 能运用它们进行一些简单推理 通过具体实 例 了解合情推理和演绎推理之间的联系和 差异 本文依据 标准 的内容和要求 说明 与建议 对 演绎推理 这一节的内容安排做 一 些探讨 1 演绎推理的引入 演绎推理 d u d e a t i o n i n f e r e n c e 与归纳推 理的过程相反 它是从一般到特殊的推理 演绎推理的主要形式就是 由大前提 小 前提推出结论的三段论式推理 例 l 大前提 马有四条腿 小前提 白马是马 结论 白马有四条腿 这是三段论式推理常用的一种格式 可 以用以下公式来表示 M P M 是 P S M S是 M S P S是P 三段论的公式中包含三个判断 第一个判断称为大前提 它提供了一个 一 般的事实或道理 第二个判断称为小前提 它指出了一个 收稿 日期 2 0 0 6 l 2 一l 3 特殊情况 这两个判断联合起来揭示了一般事实或 道理和特殊情况的内在联系 从而产生了第 三个判断 结论 三段论推理的根据 用集合的观点来讲 就是 若集合 M 的所有元素都具有性质P s是M 的子集 那么 S中所有元素都具有 性质P 演绎推理是一种必然性推理 演绎推理 的前提与结论之间有蕴涵关系 因而 只要大 前提 小前提都是真实的 推理的形式是正确 的 那么结论必是真实的 但错误的前提可能 导致错误的结论 2 演绎推理的应用 数学理论都是用演绎推理组织起来的 每一个数学理论都是一个演绎体系 最典型 的例子就是欧几里德几何 它是建立在五组 公理之上的演绎体系 例 2 用三段论证明 直角三角形两锐 角之和为 9 0 证 因为任意三角形三 内角之和为 1 8 0 大前提 而直角三角形是三角形 小前提 所以直角三角形三 内角之和为 1 8 0 结论 设直角三角形两锐角为 口和口 则上面 维普资讯 1 0 数 学 通 讯 2 0 0 6 年第 5 期 结论可表示为 a 口 9 0 1 8 0 因为等量减等量差相等 大前提 而 口 J9 9 0 一9 0 1 8 0 一9 0 是等 量减等量 小前提 所以 a J9 9 0 成立 结论 这里用了两次三段论来进行推理 在数 学中有时要用很多次的三段论来证明一个命 题 数学命题的证明过程就是一连串三段论 的有序组合 只是为了简洁 往往略去大前提 或小前提 甚至有的大前提 小前提全省略 如 完整式 一 切直角都相等 大前提 这两个角是直角 小前提 所以 这两个角相等 结论 省略式 因为这两个角是直角 小前提 所以这两个角相等 结论 或省略式 两个直角相等 结论 例 3 用三段论证 明 c c 十C G 2 证二项展开式 a b c 口 C t a 一 b c 口 一 2 b G I6 大前提 取 口 b 1 有 小前提 2 1 1 口 c 1 l C 1 2 l 1 结论 C c J c G 3 可供选择的练习 把下列各个推理还原成三段论 1 因 为 A B C 和 A C B 是 等 腰 A B C的两底角 所以 A B C AC B 2 A B C三点可以确定一个圆 因为 它们不在同一直线上 用三段论证明 3 矩形的两条对角线互相平分 4 如果两条直线都和第三条直线垂直 那么 这两条直线平行 5 在梯形 A B C D 中 A D B C A B DC 求证 B C 6 圆内两条非直径的弦相交 试证它们 不能互相平分 7 C 一1 0 c 1 一z c z 1 一 一 C 2 x 1 z 一 G 1 8 若 a是不等于 1 的实数 则函数 Y 的图像关于直线 z对称 4 合情推理与演绎推理的关系 古希腊亚历山大城有一位久负盛名的学 者 海伦 有一天 一位远道而来的将军向 他请教一个问题 从 A地出发到河边 饮完马再到B地去 在河 边哪个地方饮马可使路 途最短 如图 1 所示 M P N 图 1 牧 马示意图 海伦巧妙地类 比光 的反射原理给出了下面的解法 要解决的问题是 如何在 MN上选出一 个点P 使 A P十B P最短 用合情推理 的方法 设想答案 从 A 到直线 上一点尸 再从 P到 B 恰似光线的反射 因为 光走最短路线 由此猜 想 最短路线应该像光 的反射线 圉 2 牧马示意网 维普资讯 2 0 0 6 年第 5 期 数 学 通 讯 摆线 圆的渐伸线 星形线的作法 武景贤 洛阳师范学院 河南4 7 1 0 1 2 中图分类号 G 6 3 3 6 7 文献标识码 A 文章编号 0 4 8 8 7 3 9 5 2 0 0 6 0 5 0 0 1 1 0 3 摆线 圆的渐伸线 星形线是高等数学教 学中经常遇到的重要曲线 下面给出用几何 画板 4 O 5 版 作这些曲线的方法 1 摆线的作法 方法 1 用摆线的定义作图 设计要点 利用圆在直线上滚动的距离 等于圆心移动的距离 用平移变换得到轨迹 点 作法 1 作线段 AB 点 C 以 c为圆 心 A B为半径作圆C 2 过点 C作铅直线J 取 与圆的下交 点F 过 F作直线J的垂线 3 在圆 C 上任取一点 G 构造弧 G F 不同予弧 F G 以下同 度量弧 G F的长 度 并将这个长度值记为标记距离 4 选中圆 C 圆心 C及点G 平移 极 坐标 按标记 0度角 得到点 G的平移点 G 用合情推理构思证明 如果把 MN看成 镜子 把 B点看作一只眼睛 从镜子里看 A 点的像点A A 点应该在镜子的背后 并且 点 A 在B P的延长线上 由此先作点 A关于 MN 的对称点 A 连接 B A 交 MN于P P点即为所求 用演绎法证睨如下 在 MN上任取一点P 异于点 P 如图 2所示 则 A P P A P P A 从而 AP P B A P 十 P B A B A P 十P B AP 船 由此可知 A到B经P点距离最短 在探索自然规律时 首先要确定一个 目 标 或者提出一个要解决的问题 然后通过 日 常的实践 分析和合情推理 总结出一个预期 的解决方案或猜想 最后还需对此猜想做出 严格的证明 证明的过程中则需要按演绎推 理的规则进行 证明完前 步 下一步又该如 何演绎 仍需依靠合情推理提供思路 直至完 成全部证明 G 波利亚曾指出 数学的创造过程是 与其他知识的创造一样的 在证明一个定理 之前 你先得猜想这个定理的内容 在你完全 作出详细的证明之前 你先得猜想证明的思 路 你要先把观察到的结果加以综合 然后加 以类比 你得一次又一次的尝试 数学家的创 造性成果是论证推理 演绎推理 即证明