5.2 二元函数的偏导数与全微分.ppt

5 2二元函数的偏导数与全微分 一 偏导数二 高阶偏导数三 全微分四 全微分在近似计算中的应用 5 2二元函数的偏导数与全微分 一 偏导数 1 偏导数的定义 5 2二元函数的偏导数与全微分 5 2二元函数的偏导数与全微分 5 2二元函数的偏导数与全微分 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如函数在点处 5 2二元函数的偏导数与全微分 例1求 解法1 解法2 在点 1 2 处的偏导数 5 2二元函数的偏导数与全微分 例2设 证 例3求 的偏导数 解 求证 5 2二元函数的偏导数与全微分 偏导数记号是一个 例4已知理想气体的状态方程 求证 证 说明 R为常数 不能看作 分子与分母的商 此例表明 整体记号 5 2二元函数的偏导数与全微分 2 偏导数的几何意义 如图 5 2二元函数的偏导数与全微分 1 几何意义 5 2二元函数的偏导数与全微分 2 偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续 偏导数存在连续 一元函数中在某点可导连续 多元函数中在某点偏导数存在连续 则称它们是z f x y 5 2二元函数的偏导数与全微分 二 高阶偏导数 设z f x y 在域D内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数 的二阶偏导数 按求导顺序不同 有下列四个二阶偏导 数 5 2二元函数的偏导数与全微分 类似可以定义更高阶的偏导数 例如 z f x y 关于x的三阶偏导数为 z f x y 关于x的n 1阶偏导数 再关于y的一阶 偏导数为 第二 三个偏导数称为混合偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 5 2二元函数的偏导数与全微分 解 5 2二元函数的偏导数与全微分 例6求函数 解 注意 此处 但这一结论并不总成立 的二阶偏导数及 5 2二元函数的偏导数与全微分 问题 例如 对三元函数u f x y z 当三阶混合偏导数 在点 x y z 连续时 有 5 2二元函数的偏导数与全微分 证 5 2二元函数的偏导数与全微分 例8证明函数 满足 证 利用对称性 有 方程 5 2二元函数的偏导数与全微分 三 全微分 全增量 5 2二元函数的偏导数与全微分 定义2如果函数z f x y 在点 x y 可表示成 其中A B不依赖于 x y 仅与x y有关 称为函数 在点 x y 的全微分 记作 若函数在域D内各点都可微 则称函数 f x y 在点 x y 可微 的全增量 则称此函数在D内可微 5 2二元函数的偏导数与全微分 证 可微 与 连续 的关系 5 2二元函数的偏导数与全微分 可微 与 偏导数存在 的关系 5 2二元函数的偏导数与全微分 同样可证 证由全增量公式 得到对x的偏增量 因此有 5 2二元函数的偏导数与全微分 反例 函数 易知 但 注 定理3的逆定理不成立 偏导数存在函数不一定可微 因此 函数在点不可微 5 2二元函数的偏导数与全微分 定理4 可微的充分条件 若函数 的偏导数 则函数 在点 连续 在该点可微 且 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 例如 三元函数 的全微分为 5 2二元函数的偏导数与全微分 例9计算函数 在点 2 1 处的全微分 解 例10计算函数 的全微分 解 5 2二元函数的偏导数与全微分 可知当 四 全微分在数值计算中的应用 近似计算 由全微分定义 较小时 及 有近似等式 可用于近似计算 误差分析 可用于近似计算 5 2二元函数的偏导数与全微分 例11计算 的近似值 解设 则 取 则 5 2二元函数的偏导数与全微分 半径由20cm增大 解已知 即受压后圆柱体体积减少了 例12有一圆柱体受压后发生形变 到20 05cm 则 高度由100cm减少到99cm 体积的近似改变量 求此圆柱体 5 2二元函数的偏导数与全微分 偏导数的定义 偏导数的计算 偏导数的几何意义 高阶偏导数 偏增量比的极限 纯偏导 混合偏导 相等的条件 内容小结 5 2二元函数的偏导数与全微分 思考练习 则 A C 为 曲线在点 的切向量 为 5 2二元函数的偏导数与全微分 思考练习 D 曲线在点 的切向量 为 答案 C 5 1多