电磁场与电磁波.doc

第一章 电磁场的基本定律1.1、1.2电场与高斯定律1 库仑定律：A 平方反比。B 介电系数2 电场强度：电荷为的载流子受到的电场力为：点电荷限制的意义：A 不扰动被测对象，操作意义。B 最小电荷量与最小载流子 量子电动力学与宏观电动力学研究对象的不同。3 电场的计算：1） 点电荷：条件是线性媒质2） 多个点电荷；叠加原理成立，意味着求和3） 场点、与源点、：带撇与不带撇从源点到场点的矢径：其中4） 连续分布电荷：A 概念：三种电荷密度、B计算方法：求和变为积分3 电力线：及其重要。静电场：始于正电荷或无穷远，终于负电荷或无穷远。时变场：环，电力线环套着磁力线环，磁力线环套着电力线环。4 高斯定律：1）通量：面积分与矢量点乘方向的定义：闭合曲面与非闭合曲面2）电通量密度：仅适用于线性、各向异性媒质3）高斯定律：A 关于与两种：后者于媒质无关。4）用高斯定律计算电场：对称性的要求，高斯面。5静电场的环路积分：1.3、1.4 磁场、毕澳沙伐尔定律、安培环路定律1磁感应强度：1）速度为的运动电荷在磁感应强度为的磁场中受到的磁场力2）载流导体：2毕澳沙伐尔定律：其中为（源点）到场点的距离，为（源点）到场点的单位矢量。电流与电流密度：则有3 磁通连续性原理（关于磁场的面积分）：1）磁力线；任何情况下是闭合环形2）磁通量（磁通）：3）磁通连续性原理： 该原理可以由毕澳沙伐尔定律证明。4 安培环路定律（关于磁场的线积分）1）电流与闭合曲线方向的规定；右手螺旋法则。2）磁场强度：适用于线性、各向异性的媒质。3） 安培环路定律求解磁场：利用对称性。5麦克斯韦对安培环路定律的推广全电流定律：i. 推广线索：A 电容器充放电回路（参考教科书或普通物理）B 对称性的要求：磁场生电场（法拉第电磁感应定律），电场为何不能生磁场。来而不往非礼也，非礼则不能长久。只能磁生电，最后只剩电了。ii. 麦克斯韦磁场环路定律iii. 全电流：传导电流密度 （欧姆定律）运流电流密度 位移电流密度 1.5 电磁感应定律1 法拉第电磁感应定律一个闭合导电回路的感应电动势方向参考教科书16页图1.5.1磁通的变化可以仅仅由磁场变化引起，也可以仅仅由导电回路的变化引起，也可以是两者皆有。2 法拉第电磁感应定律的意义：感应电动势我们知道对于由电荷产生的电场静电场的环路积分为零：故环路积分不为零说明一定有其它类型的源产生了电场，并且这种电场的性质不同于静电场。也就是电场的源除了电荷外，还有变化的磁通。即磁能生电。3 麦克斯韦对法拉第电磁感应定律的推广：不但适用于闭合导电回路，也适用于任意空间的任何回路（不需要导电）1.6电磁场（麦克斯韦）方程的积分形式1 第一积分方程： 第二积分方程： 第三方程： 第四方程： 几点注解：1）偏导数代替了全导数，2）第二方程为什么有个负号？若正号会发生什么。补充内容：矢量场的数学性质1如果一个矢量场的散度和旋度已知，则该矢量场被唯一的确定。2任何矢量场最多只有两种源：散度源和旋度源3散度与闭合面积分通量有关： 高斯定理旋度与闭合回路线积分有关： 斯托克斯定理1.7电磁场方程的微分形式1 为什么需要微分形式：需要知道每一点的情况。2 如何从积分形式得到微分形式：利用高斯定理和斯托克斯定理如由麦克斯韦第二方程有由于闭合环路及上面的曲面是任意的，故有同理我们可以导出其它三个微分方程。3麦克斯韦方程的微分形式4电荷守恒定律：单位时间内由任意闭合曲面内流出电荷量应等于曲面内的电荷减少量。积分形式： 微分形式： 5由于存在电荷守恒定律，麦克斯韦方程组中后两个散度方程可以从前两个旋度方程导出，故不是独立的。6总共有三个独立的矢量方程，五个矢量，一个标量，还缺两个矢量方程状态方程。7状态方程：由此可以对媒质进行分类（作业）。三个状态方程是否多一个？第一、第三指不同的媒质。1.8 电磁场的边界条件1为什么需要边界条件：1）描述媒质分界面两侧电磁场的变化情况，由于媒质和场量不连续，微分不存在，所以微分方程不能用。2）从数学上讲，用麦克斯韦微分方程求解电磁场时必须有边界条件才能有确定解。用积分方程求解不需要边界条件，事实上积分方程就包含了边界条件。我们正是用积分方程导出边界条件的。21）分界面上磁场的切向分量（推导参考教科书第2324）页：推导中几点注解；1.9 电磁场能量关系坡印亭矢量1可以导出（教科书26、27页作业）各项的物理意义；1）和分别是电场和磁场能量密度。故表示体积内电磁场能量单位时间内的减少量。2）上式右边第一项表示体积内单位时间内传导电流的热损耗、第二项表示体积内单位时间内电场能转换为运动电荷的动能。3）由此可以看出为单位时间内由体积的表面流出（不是流进）的电磁场能量。故我们假设坡印亭矢量为单位时间内垂直通过单位面积的电磁场能量，即功率流密度矢量。2坡印亭定理的物理意义：当体积内无其它能源时，单位时间内体积内电磁场能量的减少等于体积中的功率损耗与经体积表面流出的功率流之和。例：从太阳日照角度与气候的冷暖的关系，解释坡印亭矢量和通量的概念3静态场的情况：（“”的意义）说明能量由外面空间（不是经导体内部）传递。第二章 静电场和恒定电流电场2.1 静电场的基本方程1 静电场的定义：场的源电荷，相对于观察者（坐标系）静止。2 静电场的基本方程：，因此有可以发现电场量（）与磁场量（）无耦合，故可以单独研究静电场和静磁场。于是静电场的基本方程是3 静电场的物理特性；1）场源：电荷，散度源，旋度为零，是保守场，可以定义势能。2）电力线：非环，始于正电荷或带正电荷的导体或无穷远，终于负电荷或带负电荷的导体或无穷远。3）与磁场关系：无关。2.2 电位1 为什么需要电位：1）电位作辅助量，简化求解过程，矢量变标量。2）静电场电位有物理意义：电位是单位正电荷的势能。3）电位比电场易测量。2 电位定义：前提是旋度为零。任何标量梯度的旋度恒等于零： （梯度的物理解释：最陡）因此只要让 静电场的旋度方程自然满足。3 电位的物理意义：任意一点A的电位等于把单位正电荷从该点移到电位参考点P（零电位点）电场力所做的功，也就是外力克服电场力把单位正电荷从电位参考点（零电位点）移到该点所做的功。数值上也就是单位正电荷所具有的势能。上式结果与A点到P点的具体路径无关，这是因为所以 因此我们才可以说（在静电场条件下）电位是单位正电荷的势能。势能本身就意味着它只与状态有关，与过程无关。4 电位参考点的选择：1）电荷在有限区域，无穷远点为参考点。2）电荷分布到无穷远，在有限区域任选一点作参考点。3）同一问题，参考点应该统一。4）参考点的选择不会影响电场，电场只与电位差有关，绝对电位没有意义，只有电位差才有意义。5 电位的计算：1）点电荷情况。2）电荷系情况：叠加原理成立，求和。3）求和变为积分。例37页图2.2.62.3 电位方程泊松方程1 前面我们只涉及已知电荷求电场或电位，但实际情况往往是电荷的分布不知道，只知道导体上的相对电位，电位方程满足这个要求（推导参考教科书39页）。泊松方程 在无源区，变为拉普拉斯方程 2.4 静电场的边界条件1 单独的微分方程只能给出含有未知常数的通解。只有加上边界条件，才能给出唯一确定的特解2 边界条件电场强度 电位移矢量 电位，（电场为电位的梯度，不能无限大。该条件与电场强度的边界条件等效，教科书41页） 电位移矢量边界条件的电位形式 3 特定情况：两边都是电介质，折射定律（参考教科书40、41页）4特定情况：一边导体，一边电介质。1） 静电场中的导体（动态）：当导体受到外电场作用时，导体自由电子移动到导体表面，由此产生的附加电场与原来的外加电场抵消，使得导体内部总电场为零，进而自由电子不再移动（静电场定义要求）2） 静电场中的导体（静态）：内部电场为零，导体为等位体，导体表面为等位面，自由电荷集聚在表面，形成面电荷分布。3） 边界条件： 电力线象直立的头发，科学馆的例子5 边值问题求解的一般过程：1）选取坐标系：尽量要坐标面与等位面重合或平行。2）写出方程的通解，如果有几种媒质，要分区写出通解。3）根据边界条件确定通解中的积分常数，给出特解。4）如果求解区域至无穷远，无穷远也是边界之一。教科书42页例2.4.12.5 电容1 电容的物理意义：电容是储藏电场能量的度量。2 电容的分类（导体数目）1） 单导体： 净电荷与导体电位的比（无穷远为电位参考点）2） 双导体：3） 多导体：相当于电路中的多个电容器的网络（教科书45到51页）2.6 电场的能量1某种电荷分布情况下电场的能量等于把这些电荷从无穷远处移来建立起这种分布外力所作的功（其它形式的势能也可按此法计算）。这个过程实际就是充电。2 充电方式：所有导体的电荷按同样的比例同步增加。起始状态：n个导体的电荷都为零，电位也为零终了状态：n个导体的电荷为，电位为充电过程：n个导体的电荷为，电位为，充电就是从0变到1的过程。在这过程中，的微量电荷从无穷远慢慢地加到各个导体上。微量是为了不破坏原来的电荷（场）分布，慢慢是为了不涉及动能，这样把从无穷远慢慢地加到导体外力克服电场力作的功为每个导体都增加同比例的微量电荷作的功为整个充电过程作的功为故3 点电荷系统电场的能量 4 连续电荷系统电场的能量 上面两式表明：电场能量储藏在电荷区域、即源处5 用场量表示电场能量（场的观点）因为无电荷区域被积函数为零，积分区域以及由电荷所在区域扩展至无穷远并不影响的值。当扩展至无穷远时，由于电荷分布在有限区域，在无穷远处看来，相当于一个点电荷，电场分布也与点电荷类似，故有，同时有,因此上式当扩展至无穷远时（）为零。所以我们可以仅用场量表示电场能量注意：上式的体积分应遍布整个空间。因此电场能量密度为： 该式表明电场能量储藏在有场强的空间。无电荷的区域也有能量，与3、4中的解释有矛盾！6 事实上1）5 的解释更符合物理实际。太阳能就是一个例子，阳光没有电荷，我们却能感受到有电能和由它转换来的热能。2）3、4只是电场能量的一种计算方法：就象计算水池里的水量，我既可以把整个水池的水加起来，也可以只计算水龙头流进多少，水管流出多少，进而计算总的水量。7 导体受到的电场力（补充）导体位于静电场中，自由电荷分布在导体的表面，受到电场力的作用。在静电场中，这个力的方向应指向何方？只能垂直向外，否则电荷要移动，那样就不是静电场了。另外这个力传给了谁？导体！8单个导体受到的电场力的计算（补充）导体表面电荷元受到电场力上式中的只能是系统中其它电荷的电场，不能包括电荷元本身产生的电场（宏观电磁学一涉及到源本身就有问题）电荷元本身产生的电场垂直于导体表面，在导体两边都有，方向相反，大小相等为（由高斯定律计算）。因为要保证所以导体上其它电荷产生的电场的方向一定垂直向外，大小也为，这样才能保证叠加后的总电场是导体内部为零，外部为。因此导体表面单位面积受到的力（压强）总结：作用在导体上的电场力对导体施负压，压强就等于电场能量密度。2.8 恒定电流的电场1 物理过程：前面讲静电场中导体时讲过，导体放入静电场中，电荷将向导体表面运动，遇到导体的表面停止。如果导体形成一个环路，电荷就可能沿环路方向一直流动，形成电流。2 恒定电流：电流的分布不随时间变化。3 在导电媒质外部电介质里的电场：恒定电场的源同样是（运动）电荷，恒定分布的运动电荷与静电荷无区别，故该区域恒定电场满足的基本方程为：4 在导电媒质里的电场：1）电流密度满足，2）在恒定电场，电荷分布不随时间变化，根据电荷守恒定律有3）由于恒定电场由运动电荷产生，且运动电荷的分布与时间无关，故恒定电场的源是散度源，散度源的电场是无旋电场（没有旋度源）故有4）在导电媒质里的电场总结如下边界条件（记忆方法：），与第一章同样方法推导，得如果电介质不是理想电介质，有漏电，则还有5 电源：电场驱动电荷克服阻力（电阻）漂移，电场力做功，电能减少变为热能，如果没有外加的补充能量，不可能维持恒定电流。电源就是外加能量的装置。它把其它形式的能量转换为电能以维持恒定电流。由于电源把外界能量给电荷，也就是对电荷有作用力，可以把电源等效为一个局外电场，但是它的作用范围仅限于电源内部。6 导体表面的电场：为了维持电流沿导体（切向）的流动，导体表面的切向电场不在为零。但由于良导体，极小电场就能驱动很大的电流，因此通常情况下导体表面的切向电场极小。电力线近似垂直于导体的表面。2.8 导电媒质内恒定电流的电场与静电场的比拟1 导电媒质内恒定电场静电场由于导电媒质内恒定电场的基本方程与无电荷区域内电介质的静电场的基本方程在形式上一样，边界条件也一致，故两种情况可以比拟。即可以此一种情况的解导出另一种情况的解。2 比拟关系：3 电容与电导比拟电容：电导：如果电极的电导率比周围媒质的电导率大的多，则电极表面近似为等位面，如果电极的形状也相同，则两电极之间的电导与电容存在下列关系4例（教科书）5 应用：静电比拟，用电流场模拟静电场。电流比电荷容易控制。第五章 时变电磁场1 什么是时变电磁场：场源（电荷、电流或时变场量）和场量（电场、磁场）随时间变化的电磁场。由于时变的电场和磁场相互转换，也可以说时变电磁场就是电磁波。2 时变电磁场的特点：1）电场和磁场互为对方的涡旋（旋度）源。2）电场和磁场共存，不可分割。3）电力线和磁力线相互环绕。3 本教科书自第五章以后内容全是关于电磁波的，第五章主要是基础，引入波动方程去掉电场与磁场的耦合，引入复矢量，简化时间变量的分析。第六章以平面波为例，首先研究无限大区域内的电磁波的传播特点，引入用于描述电磁波特性的参量。然后介绍半无限大区域内的电磁波的传播特点电磁波的反射和折射。第七章首先介绍一个坐标方向无限、其余坐标方向有限的区域内的电磁波传播特性导行电磁波特性，然后介绍了有限区域内的电磁波谐振特性。第八章介绍了电磁波的产生天线。4 本章内容线索：1）理论方面：基本场方程，位函数（引入矢量位），边界条件，波动方程。2）基本方法：复矢量5.1时变电磁场方程及边界条件1 1)因为不为零，电场和磁场相互耦合，不能分开研究。其基本方程就是Maxwell方程。微分形式： 积分形式2）物质（本构）方程：在线性、各向同性媒质中其它媒质有：非线性，各向异性，双各向异性，负相对电导率、负相对磁导率媒质等人工媒质。这些媒质在微波、光学、隐身、伪装方面有很多应用。3）上面的电流包括传导电流和运移电流2 边界条件：5.2 时变电磁场的唯一性定理1 如果1）一个区域内时，每一点的电场强度和磁场强度的初始值已知，2）区域边界面上电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量已知，则该区域内每一点时Maxwell方程组有唯一的确定解。5.3 时变电磁场的位函数1 关于电场的波动方程：由得左边由矢量恒等变换得（考试点） 右边 故得关于电场的波动方程：2用类似的方法可以得到关于磁场的波动方程（补充作业）3 既然Maxwell方程已经囊括所有宏观电磁现象，为什么还要波动方程：答案是求解的需要。Maxwell方程里电场和磁场耦合在一起，而波动方程里电场和磁场是独立出现的，它们有各自的波动方程。后者有时便于求解，但方程的阶数是二阶，比Maxwell方程高一阶。所以也有不用波动方程，直接用Maxwell方程求解。现在流行的FDTD方法就是直接求解Maxwell方程。用于电磁场模拟仿真软件CST就是基于FDTD方法。4 时变电磁场的位函数1） 矢量磁位的定义（同静磁场定义）：2） 标量电位的定义（不同于静电场）：由于电场的旋度不等于零，不能直接定义。但有可得 我们可以令 上面就是标量电位的定义。由上式可得这样我们就实现了用位函数表示电磁场量的目的。5 位函数的波动方程：1）矢量位的波动方程根据恒等式 上式可写成：由于矢量位的散度尚待规定，从简化角度，我们可以令：这就是洛仑兹规范（请与库仑规范比较）。由此可得矢量位的波动方程2） 标量位的波动方程：同时故得标量位的波动方程 6 Helmholtz方程：在无源区域，与均为零，上述场量和位函数的波动方程变为齐次波动方程，即Helmholtz方程：若静态场，上述波动方程退化为相应的泊松方程和拉普拉斯方程。5 4 正弦电磁场1 与电路和信号分析类似，为了便于分析，我们可以把一般随时间变化的时变电磁场，用傅立叶变换分解为许多不同时间频率的正弦电磁场（简谐场，也称时谐电磁场）的叠加。2 时谐电磁场中场量的瞬时表示式：以余弦函数为基准（工程界惯例。少数也有用正弦函数的），以电场强度矢量为例注意场量与时间变量的关系非常简单和确定，这是引入复矢量的前提。3时谐电磁场中场量的复数表示式上式可以也表示为称为电场强度的复矢量。同样时谐电磁场的其它场量也可以有类似的表示式，如上面的表示式建立了时谐电磁场场量的瞬时表示式与复数表示式之间的联系。4 Maxwell方程的复数形式以电场旋度方程为例，代入相应场量的复数表示式，可得、可与交换次序，得复数相等与其实部及虚部分别相等是等效的，故可以去掉上式两边的，接着可以消去，得到上面的方程里已经没有时间变量了，因此方程得到了简化。从形式上讲，只有把微分算子用代替，就可以把时谐电磁场场量之间的线性关系，转换为等效的复矢量关系。如复数形式的Maxwell方程微分形式 积分形式线性、各向同性媒质中，有5 边界条件的复数形式：边界条件由于不含有时间导数，故复矢量形式的边界条件与瞬时表示式形式的边界条件在形式上完全一样。6 波动方程的复矢量形式：因为，故因此矢量位复数形式的波动方程是令波动方程可写成7 复数介电常数，复数磁导率：1）令为导电媒质的等效复介电常数，则上式可写成用途：把导电媒质也视为一种等效的电介质，从而可以统一采用电介质的分析方法。另外，即使介质不导电，也会有能量损耗，且与频率有关。这时同样可以用复介电常数表示这种介质损耗，即虚部表示有能量损耗，从能量损耗的角度，与作用一样。考虑上述两种能量损耗，总的复介电常数是2 ）同样在磁介质有损耗的情况下，也可以采用复数磁导率，3） 损耗角正切：表示介质损耗的相对大小。介电质损耗角正切：磁介质损耗角正切：8 复数坡印亭矢量，复数坡印亭定理。1）即使是时谐电磁场，由于坡印亭矢量是电场与磁场的矢量乘法，其瞬时表示式与其复数表示式的关系不再是简单的取实部的关系。经推导可得（参考教科书145146页）坡印亭矢量的瞬时表示式与电场强度和磁场强度复数表示式之间的关系由上式可计算出在一个时间周期内的平均值于是可以定义复数坡印亭矢量，因此有。2) 复数坡印亭定理：经推导可得（参考教科书146147页）复数坡印亭定理如果考虑传导电流的焦耳热损耗，有；极化电流的介电损耗，有；磁损耗，有上式可写成物理意义：上式右边是体积内的有功功率和无功功率，所以上式左边的面积分是穿过闭合面的复功率，其实部是有功功率，即功率的平均值。3）复数坡印亭定理的应用：可以用它计算一个电磁系统（电磁场分布区域）的等效电路参数。第六章 平面电磁波1 时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下Maxwell equations或wave equations的解。3 在某些特定条件下，Maxwell equations或wave equations可以简化，从而导出简化的模型，如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。4 最简单的电磁波是平面波。等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。如果平面波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。5 许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。 6.1 波动方程1 电场波动方程：磁场波动方程 2 如果媒质导电（意味着损耗），有代入上面，则波动方程变为如果是时谐电磁场，用场量用复矢量表示，则采用复介电常数，上面也可写成3 在线性、均匀、各向同性非导电媒质的无源区域，波动方程成为齐次方程。4在线性、均匀、各向同性、导电媒质的无源区域，波动方程成为齐次方程。如果是时谐电磁场，用场量用复矢量表示，并采用复介电常数，上面也可写成注意，介电常数是复数代表有损耗。5 学习要求：推导，数学形式与物理意义的对应。 6.2 均匀平面电磁波1 波动方程的均匀平面波解真实的物理世界不存在均匀平面波，它需要无限大的理想介质和无穷大的能量。但离场源很远的局部区域的电磁波可以看成均匀平面波。2 由均匀平面波的定义，我们可以设电场只与同一坐标分量有关，如直角坐标系中的坐标。3 下面我们首先用Maxwell方程证明均匀平面波电磁场的纵向分量（平行于传播方向的电磁场分量，此时为分量）等于零；其次我们给出非零场分量wave方程的一般解，由一般解说明波的本质；然后导出均匀平面波的传播特性。4 把代入Maxwell两个旋度方程，可得因此是不随时间变化的常量，相互没有耦合，既与时变电磁场无关，又不包含信息，在时变电磁场中，可令它们为零。故均匀平面波电磁场的纵向分量（平行于传播方向的电磁场分量，此时为分量）等于零。5 现在电场矢量位于xy平面，不失一般性，可令，这时电场波动方程可以简化为其一般解为式中为波速6 波动的本质：令 场量仅仅与有关，的值决定场量的处于上面状态。因此的值称为相位，上述方程称为等相位面方程。从等相位面方程看，空间坐标的变化与时间坐标的变化可以相互补偿以保持相位或者说场量的恒定，这就是波动的本质。7电磁波传播方向的判定：利用等相位面方程判定。如果等相位面方程是，时间增加，欲保持相位不变，必须增加，因此等相位面是向增加方向移动，也就是电磁波传播方向是方向。8 均匀平面波为横电磁波（TEM）由5可知，电磁波传播方向为和方向。电场没有传播方向的分量。电磁波的传播方向通常称为纵向，如果电场和磁场没有传播方向的分量，则该电磁波称为TEM波（横电磁波）。9 磁场、磁场与电场的关系、波阻抗：由Maxwell磁场旋度方程可得两边积分可得式中为波阻抗。它仅仅与媒质的参数有关，也称为媒质的本征阻抗。在真空中。10 均匀平面波中电场、磁场及电磁波传播方向三者之间的关系：前面的式中包含着两个方向传播的电磁波，如果只考虑向一个方向，比如方向传播的电磁波，则有 因此在真空中的均匀平面波，其电场方向、磁场方向及电磁波传播方向三者之间相互正交，满足右手螺旋关系；电场与磁场相位相等；电场与磁场的幅度之比等于波阻抗。11 电磁能量：故电场能量密度与磁场能量密度相等。（如果不相等会怎样？）空间任一点电磁波的瞬时能量密度等于电场能量密度与磁场能量密度之和。12 坡印亭矢量与电磁能量的传播：故均匀平面波电磁波能量沿传播方向以波速传播。 6.3正弦均匀平面波在无限大均匀媒质中的传播1无限大均匀媒质中的正弦均匀平面波除了具有前面均匀平面波的全部特性之外，还有一些特点：1）正弦意味着时谐电磁波，此时的波形函数或变为正弦类函数，有正弦函数就会出现频率变量，也可以引入场量的复数表示式；2）媒质既可以无耗，也可以有耗。这样就更接近实际世界。一 在理想介质：2 波动方程及其解场量用复数表示，无源区复数形式的波动方程为与 6.2同样的假定和推理，有和式中，为传播常数，简称为波数。上面方程的解为其瞬时值为（注：教科书(6.3.4a)式笔误，应与前面复数表示式规定一致）同样利用Maxwell磁场旋度方程可得3 等相位面方程、波的相速及波长。等相位面方程是：，在时谐电磁波条件下为恒定量，由此可得。相速为与 6.2中的结论一致。但这里的方法更具有一般性。波长：在传播方向上相位差为的两点之间的距离 4 复数坡印亭矢量二 在导电媒质中5 波动方程及其解场量用复数表示，无源区复数形式的波动方程为式中。因此只要把前面的实数改为复数，解的形式不变。6 传播常数、波阻抗：传播常数为复数意味着沿传播方向电磁波有衰减。这时称为相位常数，为衰减常数。波阻抗的相角表示磁场滞后于电场。波阻抗为复数表示电场与磁场在时间上不同步。和，电场、磁场的复数表示式为电场、磁场的瞬时值为7 坡印亭矢量由此可见在导电媒质中电磁波功率流密度按指数规律衰减。8 不良导体与良导体：导电媒质中不良导体与良导体的划分不仅与媒质的电导率有关，而且与其中传播的电磁波的频率有关。9不良导体，传导电流大大小于位移电流，也称为弱损耗媒质。波阻抗 传播常数 （注意：相位比幅度敏感，故传播常数近似的精度比阻抗近似精度高一阶）这样有 这是用纯数学方法导出的衰减常数近似式。10我们也可以用物理方法导出弱损耗媒质电磁波的衰减常数的近似式（参考教科书163页）。这种物理方法更具有普遍性，是计算弱损耗媒质电磁波的衰减常数的代表性方法。11 良导体，传导电流大大大于位移电流，。波阻抗 良导体阻抗呈感性。传播常数 12 趋肤效应和趋肤深度在良导体中，由于传导电流存在，电磁波的能量转换为热能。也就是电磁波有传播损耗。电磁波由良导体衰减常数可知，电磁波频率越高，电磁波在良导体中的衰减常数就越大，这样高频电磁波只能存在于导体表面附近的一个薄层内，高频电流（）也主要分布在这个薄层。这就是趋肤效应，频率越高，电导率越大，趋肤效应越明显。趋肤深度定义为电磁波场强衰减到表面场强值时电磁波所穿透的距离。即有故即13 表面电阻：电磁波在良导体中损耗能量的功率就等于电磁波进入良导体表面的功率。设电磁波垂直进入良导体表面，则进入良导体表面的平均功率流密度，即良导体表面单位面积所吸收的功率为电磁波进入良导体后，在良导体中就有电流存在（参考教科书164页图6.3.3），电磁波在良导体中损耗能量的功率可以看成x方向的电流密度在y方向单位长度的电流流过一个等效电阻所消耗的功率。（这个等效电阻在y方向上的宽度为1，在x方向上的长度为1，在z方向上的深度无穷大，注意，这是个等效高频电阻，电导率不能直接用于计算）。因为良导体有可得这样于是等效电阻可以看成在y方向上的宽度为1，在x方向上的长度为1，在z方向上的深度为，电导率为的一个电阻（参考教科书164页图6.3.4）。从上式可知高频电阻要大于低频电阻。14 与趋肤效应有关的例子1）雷达（Radar）与声纳；2）潜艇水下通信；3）腔体镀金、银，镀层厚度。4）高频电阻于低频电阻的不同。 6.4电磁波的极化1 电磁波极化的概念非常重要：1）使用边界条件需要；2）应用中需要。2 电磁波极化的定义：空间任意一个固定点上电磁波电场强度矢量的空间指向随时间变化的方式。3 极化的由来：均匀平面波由于没有纵向（向）场分量，只有两个横向场分量。这两个横向场分量有各自的相位，合成后总的场量的方向就取决于它们之间的相位差。根据极化方式的不同可大致分为三类4线极化波：与同相或反相在空间任取一点，比如观察合成矢量，其幅度其相位不随时间变化而指向一个固定方向。这就是线极化波，电场强度的方向就是极化方向，极化方向与传播方向一起构成极化面。5 圆极化波：与等幅，相位相差合成矢量，其幅度其相位因此合成矢量的幅度不变，但其指向则以角频率在与传播方向垂直的平面里旋转。这就是圆极化波。6 左旋与右旋、判断方法：圆极化波有不同的旋转方向。我们规定如电场强度矢量与电磁波传播方向符合右手螺旋关系，则其称为右旋极化波，反之称为左旋极化波。如果电磁波的传播方向是向，若电场分量的相位超前，则为右旋极化波；反之为左旋极化波。7 椭圆极化波、长轴与短轴、轴比：一般情形消去可得这是个椭圆的方程，故为椭圆极化波。分别为椭圆的两个轴长，其中长着称为长轴，短者称为短轴，长短轴之比称为轴比。椭圆极化波也有左旋、右旋之分，其旋向的规定和判断方法与圆极化波一样。8 总之，从极化的角度，1）平面电磁波可以分为椭圆、圆极化波、线极化波几类；2）任意平面波可以分解为两个极化方向垂直的线极化波。3）各类极化波也可以也可以互相表示。椭圆、圆极化波可以分解为两个极化方向垂直的线极化波，同时线极化波也可以分解为两个幅度相等、旋向相反的圆极化波。9 极化的应用：目标的极化信息、极化隔离、极化复用，极化分集 6.6 正弦平面电磁波在不同媒质界面上反射、折射的一般规律（方向关系）1前面讨论了均匀平面波在无穷大媒质的传播特性。现在我们开始讨论均匀平面波遇到障碍物时的传播特性。首先讨论最简单的情形，即正弦平面电磁波在不同媒质界面上反射、折射的一般规律。由于任意平面波可以分解为两个极化方向垂直的线极化波，因此在讨论平面波的反射折射时，只要考虑线极化波即可。2 沿任意方向传播的正弦平面波的表示式：令表示电场或磁场的任一分量的复数形式，则它满足复数形式的波动方程在直角坐标系中为用分离变量法，令代入上式，可得上面方程的解为，不失一般性，取其中一组，可得式中为在原点处的值，位置矢量表示场点的位置，为波矢量或传播矢量，其方向单位矢量表示平面波的传播方向，其幅度即波数。上式即任意方向传播的正弦平面波的表示式。其瞬时表示式为等相位面方程： 由等相位面方程可知等相位面是平面，它的方向就是波矢量的方向，即平面波的传播方向。3 正弦平面波在不同媒质分界平面上反射、折射的一般规律：1） 这个一般规律来源于电磁场边界条件，是边界条件在正弦平面波情况下的具体表现形式。2）设分界面为平面，电磁波从媒质1的一面向媒质2的一面入射。可写出入射波表示式是：反射波表示式是：折射波表示式是：有和在媒质1（）中，总电场为在媒质2（）中，总电场为根据电场边界条件，在分界面两边，电场的切向分量应该连续，即，故欲上式在分界面上对任意一点坐标（x，y，0）都成立，式中指数项必须相等，即欲上式对任意的都成立，必须上面两式说明：入射波、反射波和折射波的波矢量在分界面上的分量相等、投影相等（重合），即它们在同一个平面上，这个平面与分界面垂直，称为入射面（也就是反射面或折射面）。设波矢量与分界面法线的夹角分别为，并称之为入射角、反射角、折射角。不失一般性，令入射面与面重合，这样，因为，故有和，即上式就是熟悉的折射定律，与光学中的折射定律一样。4正弦平面电磁波在不同媒质界面上反射、折射的一般规律总结：1）入射波、反射波、折射波三个波矢量与分界面法线共四线共面；2）反射定律；3）折射定律。问题：1）如果入射波与折射波的频率不一样会发生什么现象。2）有耗媒质会发生什么现象。5实际应用：高频近似，几何光学。 6.7 正弦平面电磁波在不同媒质界面上的斜入射（幅值关系）1 前面正弦平面电磁波在不同媒质界面上反射、折射的一般规律只给出三种波之间的方向关系，本节将给出这三者幅值之间的关系，进而写出三者的具体表示式，为此需要使用边界条件。为了运用边界条件，必须分解出电场的切向分量或磁场的切向分量。因此我们把一般的平面波分解为两个线极化波。一个是垂直极化波，电场矢量垂直于入射面；另一个是水平极化波，电场矢量平行于入射面。然后我们分别讨论两者反射、折射问题，再叠加出总的结果。2 垂直极化波：步骤1）根据上节平面电磁波在不同媒质界面上反射、折射的一般规律，以及平面波电场与磁场方向、幅度之间的关系，我们可以画出入射波、反射波、折射波三个波矢量方向，以及电场、磁场方向与分界面的几何关系图（参考教科书180页图6.7.2）。步骤2）写出媒质1和媒质2中总的电磁场表示式：在媒质1，总电磁场为入射波与反射波的叠加（注意波矢量的分解和场矢量的分解）在媒质2，总电磁场即为折射波场步骤3）写出分界面上电磁场的切向分量，并应用边界条件，导出反射波、折射波与入射波幅度之间的关系：在分界面上，由边界条件，电场、磁场的切向分量应该相等，即由反射、折射定律，上式可写成同理并考虑磁场与电场幅值之间的关系（波阻抗）可得由上面两式联立解得定义反射系数：步骤4）用反射系数重新写出媒质1、媒质2中的电磁场表示式在媒质1在媒质2注意：推导时要注意区分两类矢量方向：场矢量方向与波矢量方向3 平行极化波与垂直极化波情况类似，只要方向不同即可。步骤1）根据上节平面电磁波在不同媒质界面上反射、折射的一般规律，以及平面波电场与磁场方向、幅度之间的关系，我们可以画出入射波、反射波、折射波三个波矢量方向，以及电场、磁场方向与分界面的几何关系图（参考教科书182页图6.7.3，注意图中反射波磁场方向反了）。步骤2）写出媒质1和媒质2中总的电磁场表示式：在媒质1，总电磁场为入射波与反射波的叠加（注意波矢量的分解和场矢量的分解）在媒质2，总电磁场即为折射波场步骤3）写出分界面上电磁场的切向分量，并应用边界条件，导出反射波、折射波与入射波幅度之间的关系：在分界面上，由边界条件，电场、磁场的切向分量应该相等，即由反射、折射定律，上式可写成同理并考虑磁场与电场幅值之间的关系（波阻抗）可得由上面两式联立解得定义反射系数：步骤4）用反射系数重新写出媒质1、媒质2中的电磁场表示式在媒质14 全反射：没有透射波，入射波全部被反射形成反射波，反射系数幅值等于1，反射波能量等于入射波能量。从反射系数表示式可以看出，只要入射角或透射角任意一个等于，反射系数的幅值就为1，不属于反射、折射问题，因此只有，此时对应的入射角称为临界角由折射定律 和可得临界角因为正弦函数幅值不大于1，故只有时才有可能全反射。5 全反射的应用：光纤6 全透射：没有反射波，入射波全部进入媒质2，反射系数等于0，这时的入射角称为布鲁斯特角。由反射系数等于0，可得（垂直极化波）或（平行极化波），另有折射定律，联立可得 （垂直极化波） （平行极化波）如果（不一定要均等于）则 和 因此只有平行极化波才有可能全反射现象发生，这时布鲁斯特角7 全透射的应用：1）偏振片；2）微波原油含水仪（国家发明奖三等、四等） 6.5正弦平面波向不同媒质界面的垂直入射1垂直入射是斜入射时入射角等于0的情况。参考教科书图6.5.1和图6.7.3发现平行极化波斜入射时入射角等于0的场量、坐标系方向的规定完全一致，因此只要令就可以得到垂直入射的结果。2 正弦平面波向理想导体表面的垂直入射：1） 物理现象：全反射，驻波2） 边界条件，分界面上电场切向分量等于0（不等于整个媒质1区域电场该方向分量为零）： ，导致，故反射系数（也可以令得到此结果，相当于）3）在媒质1中的场量表示式（教科书改变了z坐标的方向，这里不变）4） 理想导体表面面电流密度：注意：一般金属表面（趋肤）电流方向与表面上的电场方向一致（欧姆定律要求），理想导体虽然表面电场为零，但表面电流与表面附近的电场方向一致，这说明理想导体是良导体的极限情况5） 驻波、行波、行驻波：电场磁场的瞬时表示式是时间与空间不能相互补偿，不是波，或者说是不动的波驻波，波腹，波节，6）驻波可以说是射频、微波系统最重要的指标，也是信号完整性（SI）中主要问题之一。6） 应用：等效电壁，逆散射 6.8正弦平面波向理想导体表面的斜入射1电磁波不能进入理想导体内部，故透射波为零，理想导体表面有表面电流。2 本情况是前面讨论过的两种情况的结合：斜入射、理想导体，故具体过程不再重复。注意教科书在本节坐标系的安排与上节不一致。但我们这里保持与上节一致。3 垂直极化波：因为理想导体，故，对应的瞬时表示式（设的初始相位为零）4 特点：合成波平行于表面方向（x方向）行波，垂直于表面方向（z方向）驻波。1）从波速看：合成波等相位面方程：常数，即常数，等相位面速度即相速有可能大于光速。相速大于光速的波称为快波，反之称为慢波。2） 从幅度看：首先等相位面上场强分布不均匀，是驻波，因此不再是均匀平面波了。其次等幅度面常数，与等相位面常数，垂直。3）从场强纵向分量看：在电磁波的传播方向（x方向）有磁场分量，故不再是TEM波了，是TE波，或H波。5 平行极化波：与垂直极化波同样推导，可得其合成波的瞬时表示式6 特点：与垂直极化波类似，不同点是在电磁波的传播方向（x方向）有电场分量，故称为TM波，或E波。7 我们已经学习了三种电磁波的波型：TEM、TE、TM。第七章 导行电磁波7.1导行电磁波及其导行系统1 导行电磁波就是在导行系统（统称传输线，有时指波导）中传输的电磁波，简称导波。2 在一个实际射频、微波系统里，传输线是最基本的构成，它不仅起连接信号作用，而且传输线本身也可以成为某些元件，如电容、电感、变压器、谐振电路、滤波器、天线等等。3 传输线的主要指标：1）损耗。损耗来源于导体、介质、辐射、模式转换；2）色散和单模工作频带宽度。取决于传输线的结构；3）制造成本。取决于是否可以集成。4 几种典型微波传输线，结构演化、特点。1）双线；2）同轴线；3）波导；4）微带线；5）介质波导与光纤；6）空间。7.2 导波的一般分析方法1导波的一般分析方法：先求出场纵向分量，然后由场纵向分量导出其余的场横向分量。2 导波场横向分量与场纵向分量关系：Step1：设导波的传播方向（纵向）为z方向，传播无衰减，传输线横截面保持不变，则有 （1）式中是导波沿传播方向（z方向）的传播常数，有（2）把（1）式代入直角坐标系中的波动方程，简化后可得（3）Step2：将（1）式代入Maxwell方程组的两个旋度方程，直角坐标系中展开后可得场横向分量与场纵向分量关系：（4）在圆柱坐标系里也能导出类似的关系式。3 由场纵向分量导出场横向分量方法的好处：1）简化计算：六个分量的求解简化为两个分量的求解。场纵向分量相当于位函数。2）便于波型分类4 导波波型的分类：1） TE波（横电波，或H波）：，电磁场只有五个分量2） TM波（横磁波，或E波）：电磁场只有五个分量3） TEM波：和，电磁场只有四个分量欲横向场存在，由（4）式可知，必须，这样首先方程（3）变为这样TEM波的电磁场在横截面上的分布满足拉普拉斯方程，因此TEM波的电磁场在横截面上的特性与静电场、静磁场一样。其次（2）式变为即TEM波传播常数与相应自由空间的均匀平面波的传播常数一样。由上述两点可得TEM波存在条件：首先要有两个以上导体，其次传输线中的媒质是均匀媒质。4）混合模：电磁场六个分量都有。5 波阻抗导波电磁场横向分量之间的关系在均匀平面波中，横向电场与横向磁场幅度之比值称为波阻抗，它仅仅与媒质参数有关。在导波情况下，波阻抗不仅与波导填充媒质参数有关，还与导波频率有关，而且不同的波型，波阻抗也不同。1）TE波令方程（4）中，可得具有阻抗的量纲，为负值是因为导波传播方向是z方向，不是z方向。2） TM波同理3） TEM波在Maxwell旋度方程中直接把代入，展开后可得4） 混合模：需要分解。7.3 矩形波导中的导波1 矩形波导横截面为封闭的矩形金属管，因此不能存在TEM波，它的尺度一般与工作波长相当。2 TM波3 TE波4 矩形波导中导波的模式：由导波场强表示式可知，波导中的导波在横截面上的分布呈驻波状态，值分别代表沿x方向，y方向的驻波个数。导波表示式中值的不同，导波的分布也不同，每种场分布（值）代表一个电磁场导波的模式。实际波导里导波有什么模式存在，不仅取决于波导本身，也取决于波导激励或耦合的情况。例如波导同轴转换。5 矩形波导的传播特性1）截止特性，截止波长与截止频率：矩形波导中的电磁波沿传播方向的分布规律是，因此导波的传播特性决定于传播常数，而又决定于