正余弦定理的综合运用.ppt

正弦定理 余弦定理综合运用 知识目标 1 三角形形状的判断依据 2 利用正弦 余弦定理进行边角互换 能力目标 1 进一步熟悉正 余弦定理 2 边角互化 3 判断三角形的形状 4 证明三角形中的三角恒等式 教学重点 利用正弦 余弦定理进行边角互换 教学难点 1 利用正弦 余弦定理进行边角互换时的转化方向 2 三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系 余弦定理 正弦定理 复习 R是三角形外接圆半径 实现边角互化 例1 如果 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于 A2B2C2的三个内角的正弦值 则 A A1B1C1和 A2B2C2都是锐角三角形 B A1B1C1和 A2B2C2都是钝角三角形 C A1B1C1是钝角三角形 A2B2C2是锐角三角形 D A1B1C1是锐角三角形 A2B2C2是钝角三角形 题型一 判断三角形形状 解 A1B1C1的三个内角的余弦值都大于0 所以 A1B1C1是锐角三角形 若 A2B2C2也是锐角三角形 则 sinA2 cosA1 sin A1 则A2 A1 同理B2 B1 C2 C1 矛盾 所以 A2B2C2不是锐角三角形 选D 小结一 判断三角形形状时 一般考虑两个方向进行变形 一个方向是边 走代数变形之路 通常是正 余弦定理结合使用 另一个方向是角 走三角变形之路 通常是运用正弦定理 这也要求同学们所学三角公式要熟悉 已知三角函数值求角时 要先确定角的范围 在中 若 则是 A 等腰三角形B 等腰直角三角形C 直角三角形D 等边三角形 D 练习一 题型二 三角形中的化简求值题 例2 ABC中 已知a 2 求bcosC ccosB的值 解 化角为边 由余弦定理得 bcosC ccosB c b 解法二 化边为角 由正弦定理得 bcosC ccosB 例2 ABC中 已知a 2 求bcosC ccosB的值 射影定理 a bcosC ccosB b ccosA acosC c acosB bcosA 解法一 代入得 由正弦定理得 化边为角 例3 解法二 由余弦定理得 代入得 整理得 化角为边 例3 解 由余弦定理知 化边为角 练习二 题型三 证明恒等式 方法一 边化角 方法二 角化边 小结三 由边向角转化后 要熟练运用三角函数公式 有时又要由角转化为边 三角形中的有关证明问题 主要围绕边与角的三角函数展开 从某种意义上来看 这类证明问题就是有了目标的含边与角的式子的化简问题 练习 在 ABC中 求证 a2sin2B b2sin2A 2absinC 题型四 面积问题 变式4 已知 ABC的三边长求 ABC的面积 变式3 已知 ABC的面积求C角的大小 变式1 ABC的面积为求A 变式2 在 ABC中 求 ABC的面积及外接圆半径 例5 a a 1 a 2构成钝角三角形 求a的取值范围 变式 锐角三角形的三边长为2 x 3 求x的取值范围 练习 三条线段长度为2 x 6 1 求构成直角三角形时 x的取值范围 2 求构成锐角三角形时 x的取值范围 3 求构成钝角三角形时 x的取值范围 题型五 范围问题 1 07年全国卷 方法一 正弦定理 1 方法二 余弦定理 2 方法一 向量数量积定义 方法二 勾股定理 3 余弦定理 小结 1 学会利用正弦 余弦定理解决两类题型 1 判断三角形的形状 2 三角形中的求值题 2 两种题型思路的共同点就是从 统一 着眼 或统一转化为三角函数 作三角变换 或统一