《走向清华北大》高考总复习 平面向量的基本定理及坐标表示课件.ppt

第二十四讲平面向量的基本定理及坐标表示 回归课本 1 平面向量基本定理及坐标表示 1 平面向量基本定理定理 如果e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 其中 不共线的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量 叫做把向量正交分解 3 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量e1 e2作为基底 对于平面内的一个向量a 有且只有一对实数a1 a2 使a a1e1 a2e2 把有序数对 a1 a2 叫做向量a的坐标 记作a a1 a2 其中a1叫a在x轴上的坐标 a2叫a在y轴上的坐标 设 a1e1 a2e2 则向量的坐标 a1 a2 就是终点a的坐标 即若 a1 a2 则a点坐标为 a1 a2 反之亦成立 o是坐标原点 2 平面向量的坐标运算 1 加法 减法 数乘运算 2 向量坐标的求法已知a x1 y1 b x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标 3 平面向量共线的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 其中b 0 则a与b共线 a b x1y2 x2y1 0 考点陪练 1 下列各组向量中 可以作为基底的是 a e1 0 0 e2 1 2 b e1 1 2 e2 5 7 c e1 3 5 e2 6 10 d e1 2 3 e2 解析 根据基底的定义知 非零且不共线的两个向量才可以作为平面内的一组基底 a中显然e1 e2 c中e2 2e1 所以e1 e2 d中e1 4e2 所以e1 e2 答案 b 2 已知a 2 3 b 1 5 则3a b等于 a 5 14 b 5 14 c 7 4 d 5 9 解析 3a b 3 2 3 1 5 6 9 1 5 5 14 答案 a 3 设a 1 2 b 3 4 c 3 2 则 a 2b c a 15 12 b 0c 3d 11解析 a 2b 1 2 2 3 4 5 6 a 2b c 3 答案 c 答案 2 类型一平面向量基本定理的应用解题准备 已知e1 e2是平面的一组基底 如果向量a e1 e2共面 那么有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 反之 如果有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 那么a e1 e2共面 这是平面向量基本定理的一个主要考查点 也是高考本部分知识考查的重点内容 反思感悟 1 本题先利用平面向量基本定理设出未知向量 然后利用共线向量的条件列出方程组 通过待定系数法从而确定参数的值 2 由平面向量基本定理知 平面内的任一向量都可用两个不共线的向量惟一表示 根据向量的加法和减法法则及几何性质即可解题 类型二平面向量的坐标运算解题准备 向量的坐标运算 使得向量的线性运算都可用坐标来进行 实现了向量运算完全代数化 将数与形紧密结合起来 就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算 反思感悟 由a b c三点坐标易求得坐标 再根据向量坐标的定义就可以求出m n的坐标 向量的坐标是向量的另一种表示形式 它只与起点 终点 相对位置有关 三者中给出任意两个 可求第三个 在求解时 应将向量坐标看作一 整体 运用方程的思想求解 向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算 必须灵活应用 类型三平面向量共线的坐标表示解题准备 两平面向量共线的充要条件有两种形式 若a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件是x1y2 x2y1 0 若a b a 0 则b a 典例3 平面内给定三个向量a 3 2 b 1 2 c 4 1 回答下列问题 1 求3a b 2c 2 求满足a mb nc的实数m n 3 若 a kc 2b a 求k 4 若 d c a b 且 d c 1 求d 分析 1 直接用向量加减法的坐标运算公式 2 借助于向量相等的条件 建立关于m n的方程组 3 利用向量共线的充要条件 建立关于实数k的充要条件 4 利用 d c a b 及 d c 1建立关于x y的方程组 解 1 3a b 2c 3 3 2 1 2 2 4 1 9 6 1 2 8 2 9 1 8 6 2 2 0 6 2 a mb nc 3 2 m 1 2 n 4 1 m 4n 2m n 3 a kc 2b a 又a kc 3 4k 2 k 2b a 5 2 2 3 4k 5 2 k 0 k 4 设d x y d c x 4 y 1 a b 2 4 又 d c a b 且 d c 1 反思感悟 向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示 在引入向量的坐标表示后 可以使向量的运算完全化为代数运算 这样就可以将 形 和 数 紧密结合在一起 因此 很多几何问题 特别是共线 共点等较难问题的证明 通过建立坐标系 设出点的坐标就可转化为坐标运算来解决 如 要证平行 只需相关向量共线 要证垂直 只需相关向量数量积等于0 错源一遗漏零向量 典例1 若a 3 2 m 与b m m 平行 求m的值 错解 因为b m m m 1 1 令c 1 1 b c 又a b 所以a c 即3 1 1 2 m 0 解得m 5 剖析 零向量与任一向量平行 当m 0时 b为零向量 也与a平行 正解 由a b 得 3m m 2 m 0 即m2 5m 0 解得m 5或m 0 所以m的值为0或5 评析 零向量与任一向量都是平行 共线 向量 这是在解题中常常容易被忽视的 错源二忽视平面向量基本定理的使用条件致误 剖析 本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决 但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时 容易忽视平面向量基本定理的使用条件 出现漏解 漏掉了当a b共线时 t可为任意实数这个解 正解 由题设知 d c 2b 3a e c t 3 a tb c d e三点在一条直线上的充要条件是存在实数k 使得即 t 3 a tb 3ka 2kb 整理得 t 3 3k a 2k t b 若a b共线 则t可为任意实数 若a b不共线 则有解之得综上 a b共线时 t可为任意实数 a b不共线时 评析 平面向量基本定理如果e1 e2是一平面内的两个不共线向量 那么对该平面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 特别地 当a 0时 1 2 0 本题在a b不共线时 就是根据这个定理得出的方程组 在平面向量的知识体系里 平面向量基本定理是基石 共线向量定理是重要工具 在复习这部分时要充分注意这两个定理在解决问题中的作用 在使用平面向量基本定理时要注意其使用是两个基向量不共线 技法一基向量法 典例1 在下图中 对于平行四边形abcd 点m是ab的中点 点n在