高一数学 3.3.1 几何概型 2课件 新人教A版必修3.ppt

必修3几何概型 复习 古典概型的两个基本特点 1 所有的基本事件只有有限个 2 每个基本事件发生都是等可能的 那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢 1 取一根长度为30cm的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大 从30cm的绳子上的任意一点剪断 基本事件 问题情境 2 射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环 从外向内为白色 黑色 蓝色 红色 靶心是金色 金色靶心叫 黄心 奥运会的比赛靶面直径为122cm 靶心直径为12 2cm 运动员在70m外射箭 假设每箭都能中靶 且射中靶面内任一点都是等可能的 那么射中黄心的概率是多少 射中靶面直径为122cm的大圆内的任意一点 这两个问题能否用古典概型的方法来求解呢 基本事件 问题情境 对于一个随机试验 我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点 该区域中的每一个点被取到的机会都一样 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点 这里的区域可以是线段 平面图形 立体图形等 用这种方法处理随机试验 称为几何概型 几何概型的特点 1 基本事件有无限多个 2 基本事件发生是等可能的 建构数学 在几何概型中 事件a的概率的计算公式如下 例1 取一个边长为2a的正方形及其内切圆 随机向正方形内丢一粒豆子 求豆子落入圆内的概率 数学应用 数学应用 数学拓展 模拟撒豆子试验估计圆周率 由此可得 如果向正方形内撒颗豆子 其中落在圆内的豆子数为 那么当很大时 比值 即频率应接近于 于是有 1 某人午休醒来 发觉表停了 他打开收音机想听电台整点报时 求他等待的时间短于10分钟的概率 2 已知地铁列车每10min一班 在车站停1min 求乘客到达站台立即乘上车的概率 打开收音机的时刻位于 50 60 时间段内则事件a发生 由几何概型的求概率公式得p a 60 50 60 1 6即 等待报时的时间不超过10分钟 的概率为1 6 例题2 解 记 等待的时间小于10分钟 为事件a 会面问题 甲 乙二人约定在12点到5点之间在某地会面 先到者等一个小时后即离去 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的 且二人互不影响 求二人能会面的概率 解 以x y分别表示甲 乙二人到达的时刻 于是 即点m落在图中的阴影部分 所有的点构成一个正方形 即有无穷多个结果 由于每人在任一时刻到达都是等可能的 所以落在正方形内各点是等可能的 m x y 二人会面的条件是 012345 y x 54321 y x 1 y x 1 记 两人会面 为事件a 练习 假设你家订了一份报纸 送报人可能在早上6 30 7 30之间把报纸送到你家 你父亲离开家去工作的时间在早上7 00 8 00之间 问你父亲在离开家前能得到报纸 称为事件a 的概率是多少 解 以横坐标x表示报纸送到时间 以纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系 由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的 所以符合几何概型的条件 根据题意 只要点落到阴影部分 就表示父亲在离开家前能得到报纸 即时间a发生 所以 归纳 对于复杂的实际问题 解题的关键是要建立模型 找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域 把问题转化为几何概率问题 利用几何概率公式求解 练习 一海豚在水池中自由游弋 水池为长30m 宽20m的长方形 求此海豚离岸边不超过2m的概率 例3 在1l高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子 从中随机取出10ml 含有麦锈病种子的概率是多少 5 有一杯1升的水 其中含有1个大肠杆菌 用一个小杯从这杯水中取出0 1升 求小杯水中含有这个细菌的概率 练一练 问题 例 某商场为了吸引顾客 设立了一个可以自由转动的转盘 并规定 顾客每购买100元的商品 就能获得一次转动转盘的机会 如果转盘停止时 指针正好对准红 黄或绿的区域 顾客就可以获得100元 50元 20元的购物券 转盘等分成20份 甲顾客购物120元 他获得购物券的概率是多少 他得到100元 50元 20元的购物券的概率分别是多少 例2 两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子 并在绳子上挂一盏灯 求灯与两端距离都大于3m的概率 数学应用 解 记 灯与两端距离都大于3m 为事件a 由于绳长8m 当挂灯位置介于中间2m时 事件a发生 于是 用几何概型解简单试验问题的方法 1 适当选择观察角度 把问题转化为几何概型求解 2 把基本事件转化为与之对应的区域d 3 把随机事件a转化为与之对应的区域d 4 利用几何概型概率公式计算 注意 要注意基本事件是等可能的