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文档简介

第四节行列式按行 列 展开 叫做元素的代数余子式 例如 一 余子式与代数余子式 例1 例2 引理一个阶行列式 如果其中第行所有元素除外都为零 那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积 即 例如 即由前面所学知识可知 又 从而 再证一般情形 此时 得 得 例1计算行列式 解 定理行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 证 二 行列式按行 列 展开法则 或 例2 分别按第一行与第二列展开行列式 解 按第一行展开 按第二列展开 推论行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 证 同理 例3 计算行列式时 可以先用行列式的性质将行列式中某一行 列 化为仅含有一个非零元素 再按此行 列 展开 这样可以简化计算 例4计算行列式 解 解 按第1行展开 以此作递推公式 即得 以此作递推公式 即得 解法二 把中的第2n行依次与第2n 1行 第2行对调 作2n 2次相邻对调 第2n列依次与第2n 1列 第2列对调 得 例5 证明范德蒙德 Vandermonde 行列式 为此 设法把降阶 从n行开始 后行减去前行的倍 有 证 用数学归纳法 要证 1 对n阶范德蒙德行列式也成立 n 1阶范德蒙德行列式 例 求解方程 解 由范德蒙德行列式得 所以 2 求 解 思考题 求第一行各元素的代数余子式
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