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对称性在二重积分中的应用 高等数学 同济大学第五版 主讲 张晓斌 中国民航大学理学院 中国民航大学理学院张晓斌 一 常用的有关二重积分的对称性定理 二 定理的应用 典型例题分析 三 小结 主要内容 中国民航大学理学院张晓斌 一 常用的有关二重积分的对称性定理 定义1 若二元函数的定义域关于轴对称 且满足 或 则称关于为奇 偶 函数 定义2 若二元函数的定义域关于轴对称 且满足 或 则称关于为奇 偶 函数 中国民航大学理学院张晓斌 定义3 若二元函数的定义域关于直线对称 且满足 则称关于和对称 定理1若有界闭区域关于轴对称 在区域上连续 则 当关于为奇函数时 当关于为偶函数时 中国民航大学理学院张晓斌 定理1 若有界闭区域关于轴对称 在区域上连续 则 当关于为奇函数时 当关于为偶函数时 中国民航大学理学院张晓斌 推论1 1若有界闭区域关于轴和轴都对称 在区域上连续 且关于和均为偶函数 则 中国民航大学理学院张晓斌 定理2若有界闭区域与区域关于直线对称 在区域上连续 则 中国民航大学理学院张晓斌 推论2 1若有界闭区域关于直线对称 在区域上连续 则 中国民航大学理学院张晓斌 例1 如图 由于积分区域关于轴 轴都对称 且和中的被积函数分别关于是奇函数 根据定理1和定理1 得 计算其中 解 中国民航大学理学院张晓斌 二 定理的应用 例2 总习题九1 2 则 提示 如图 A 设有平面闭区域 中国民航大学理学院张晓斌 例3 有一个平面薄片 在平面上占有区域其面密度为 求该薄片的质量M 由于积分区域关于轴 轴都对称 且被积函数关于都是偶函数 根据推论1 1得 中国民航大学理学院张晓斌 解 根据二重积分的物理意义 2014 3 例4 设在连续 且 证明 证明 补区域使其与区域 注意到被积函数关于和对称 考虑利用定理2 关于直线对称 例5 中国民航大学理学院张晓斌 设为取值恒大于0的连续函数 区域 与是两个非零常数 则二重积分 解 由于区域关于直线对称 根据推论2 1可得 从而 中国民航大学理学院张晓斌 三 小结 本节给出了几种常用的有关二重积分的对称性定理 并通过例题分析对这些定理做了应用 讨论了利用积分区域的对称
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