杭州初三数学二次函数练习题复习题二次函数知识点.doc

杭州中考网二次函数一、解析式的求法一般式顶点式两点式（交点式）二、二次函数的图像1、二次函数的平移问题 （1）、平移的实质：相同。（决定二次函数的形状、开口和开口的大小，其中决定开口的大小，的正负决定开口方向。注意，两个二次函数的相等，则这两个二次函数的形状就是相同的） （2）、平移的规律：顶点坐标的平移。2、二次函数的对称变换：3、二次函数的图像与及其相关代数式()之间的关系 例1、（1）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ； ； ； ； ，（的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个（2）如图4所示，二次函数的图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中2 x11，0 x21，下列结论：4a2b+c0；2ab0；a4ac。其中正确的有（ ）A1个B2个C3个D4个（3）如图，抛物线与轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则(填“”或“”)；的取值范围是三、二次函数的性质当a0时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小；在对称轴右侧，y随x增大而增大。它有最底点，所以存在最小值，这个最小值就是当x取顶点横坐标，顶点纵坐标的值就是二次函数的最小值。当a0时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大；在对称轴右侧，y随x增大而减小。它有最高点，所以存在最大值，这个最大值就是当x取顶点横坐标，顶点纵坐标的值就是二次函数的最大值。例2、已知M,N两点关于Y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线上，设点M的坐标为，则二次函数有最大值还是最小值，那最大（小）值是多少？四、二次函数的基本应用1、利润问题例3、（1）、某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月可售出400件，根据销售经验（提高销售单价会导致销售量的减少），即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如何提高售价，才能在半月内获得最大利润？（2）、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题： 由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数表达式； 求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； 求第8个月公司所获利润是多少万元？（3）、某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产。已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为元，年销售量为万件，年获利（年获利年销售额生产成本投资）万元。 试写出与之间的函数关系式；（不必写出的取值范围） 试写出与之间的函数关系式；（不必写出的取值范围） 计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？ 公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于1130万元。请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价（元）应确定在什么范围内？2、距离(长度)问题例4、某施工队要修建一个横截面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立如图的直角坐标系. 请直接写出点M及抛物线顶点P的坐标. 求出这条抛物线的解析式. 施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D在抛物线上,B、C在地面OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木料AB、AD、DC的长度之和的最大值.试问:其最大值是多少? 3、过隧道及过桥问题例5、如图所示，隧道的截面是由抛物线和长方形构成的。长方形的宽是2米，长是8米，抛物线可用表示。 一辆卡车高4米，宽2米，它能通过该隧道吗？ 如果该隧道内设双行道，那么这辆卡车能通过吗？4、分段函数例6、（1）、通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示注意力越集中）.当0x10时，图象是抛物线的一部分，当10x20和20x40时，图象是线段当0x10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；一道数学综合题，需要讲解24分钟问老师能否经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指标数都不低于36OOyyxxA2515图甲图乙425（2）、王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好某一天他利用30分钟时间进行自主学习假设他用于解题的时间（单位：分钟）与学习收益量的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间（单位：分钟）与学习收益量的关系如图乙所示（其中是抛物线的一部分，为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间 求王亮解题的学习收益量与用于解题的时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 求王亮回顾反思的学习收益量与用于回顾反思的时间之间的函数关系式； 王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量解题的学习收益量回顾反思的学习收益量）（3）、由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为0.1万元台，并预付了5万元押金。他计划一年内要达到一定的销售量，且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于34万元，但不高于40万元若一年内该产品的售价（万元台）与月次（且为整数）满足关系是式：，一年后发现实际每月的销售量（台）与月次之间存在如图所示的变化趋势 直接写出实际每月的销售量（台）与月次之间的函数关系式； 求前三个月中每月的实际销售利润（万元）与月次之间的函数关系式； 试判断全年哪一个月的的售价最高，并指出最高售价； 请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量五、二次函数和方程及不等式的相互关系及相互转换 函数作为代数援助几何的衍生物，起着一个桥梁作用，因此在解决函数问题时，应该注意数型结合。作为代数的主体，方程和不等式与函数之间有着密切的联系，解方程不等式问题，从实质上说，是研究相应函数的零点、正负值问题对于函数，它与轴交点的横坐标就是方程的解，而在轴上面（下面）的部分所对应的的取值范围就是不等式（）的解集。对于函数和，它们交点的横坐标就是方程的解，而不等式（）的解集反映在图像上，就是的图像在图像上面的部分所对应的的取值范围。例7、（1）、二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： 写出方程的两个根 写出不等式的解集 写出随的增大而减小的自变量的取值范围 写出方程的实数根： 若方程有两个不相等的实数根，写出的取值范围 （2）、阅读材料，解答问题用图象法解一元二次不等式：解：设，则是的二次函数抛物线开口向上又当时，解得由此得抛物线的大致图象如图所示观察函数图象可知：当或时，的解集是：或观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是_；仿照上例，用图象法解一元二次不等式：（大致图象画在答题卡上）123123xy （3）、已知抛物线的部分图象如图1所示。图1 图2求c的取值范围；若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线的解析式；若反比例函数的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较与的大小。（4）、阅读：我们知道，在数轴上，x1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2xy10的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y2x1的图象，它也是一条直线，如图. 观察图可以得出：直线1与直线y2x1的交点P的坐标（1，3）就是方程组的解，所以这个方程组的解为在直角坐标系中，x1表示一个平面区域，即直线x1以及它左侧的部分，如图；y2x1也表示一个平面区域，即直线y2x1以及它下方的部分，如图。Oxy 图ly=2x+1Oxy 图lx=1P(1,3)Oxy3 图lx=1y=2x+1回答下列问题： 在直角坐标系（图）中，用作图象的方法求出方程组的解； 用阴影表示，所围成的区域。六、动点面积问题 动点类面积问题的解题关键在于寻找临界点，划分时间段，需要注意的是，最后得到的与时间或者距离是一个分段函数，如果要求的最值，则应该在区间内求最值，然后加以比较。例8、（1）、如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB3，AD5若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿ABCD的路线作匀速运动当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；（2）设P点运动时间为t（秒）。当t5时，求出点P的坐标；若OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）（2）、如图1,在ABC中，A90，AB4，AC3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MNBC交AC于点N以MN为直径作O，并在O内作内接矩形AMPN令AMx 用含x的代数式表示NP的面积S； 当x为何值时，O与直线BC相切？ 在动点M的运动过程中，记NP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ABCMNPOABCMNDOABCMNPO 图1 图2 图3（3）、如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQx轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与OAB重叠部分的面积为S。 求点A的坐标。（2分） 试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式。（4分） 在的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。（2分） 若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是_。（2分）（4）、如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合 求的面积； 求矩形的边与的长； 若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关ADBEOCFxyy（G）的函数关系式，并写出相应的的取值范围（5）、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形的边落在轴的正半轴上，且，=4，=6，=8正方形的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形面积将正方形沿轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形的重叠部分面积为分析与计算：求正方形的边长；操作与求解： 正方形平行移动过程中，通过操作、观察，试判断（0）的变化情况是 ；A逐渐增大 B逐渐减少 C先增大后减少 D先减少后增大 当正方形顶点移动到点时，求的值；探究与归纳：ABCABCODEF设正方形的顶点向右移动的距离为，求重叠部分面积与的函数关系式七、动点存在性问题 在解决动点存在性问题时，一般先假设其存在，得到方程或者相应的式子，如果有解，则存在，反之，则不存在。对于实际问题，一般分为三类：1、是否存在等腰三角形，直角三角形，平行四边形，矩形，直角梯形和等腰梯形，（对于三角形，一般按顶点分为三类情况，当然，如果有角已经与已知角相等，则就分为两类情况；而对于平行四边形则应该按和边平行以及和对角线平行两种情况考虑；对于等腰梯形，就应该注意底角的余弦了）2、是否存在三角形与一固定三角形相似（和上面一样按顶点分三类情况），3、是否存在三角形与一固定三角形面积之间有数量关系。例9、（1）、已知抛物线，经过点A(0，5)和点B（3 ，2） 求抛物线的解析式： 现有一半径为l，圆心P在抛物线上运动的动圆，问P在运动过程中，是否存在P 与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标：若不存在，请说明理由； 若 Q的半径为r，点Q 在抛物线上、Q与两坐轴都相切时求半径r的值（2）、如图，直角坐标系中，已知点A(2，4)，B(5，0)，动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点O从A点出发沿AB向终点B运动两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了s Q点的坐标为(，)（用含x的代数式表示） 当x为何值时，APQ是一个以AP为腰的等腰三角形? 记PQ的中点为G请你探求点G随点P，Q运动所形成的图形，并说明理由.（3）、如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点 求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标； 在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由； 试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由AOxyBFC（4）、如图，直角梯形中，,为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点坐标为（2，2），= 60，于点.动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒.求的长；若的面积为（平方单位）. 求与之间的函数关系式.并求为何值时，的面积最大，最大值是多少？设与交于点.当为等腰三角形时，求中的值. 探究线段长度的最大值是多少，直接写出结论.（5）、如图，已知点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线 求抛物线的解析式； 点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D，连结BD，求直线BD的解析式； 在的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDBCBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由（6）、如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.求点A的坐标;以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标; 设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的 横坐标为x,当时,求x的取值范围. （7）、如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO求这个二次函数的表达式经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积.（8）、如图，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点 求二次函数的解析式； 求切线的函数解析式； 线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由yxOABMO1（8）、已知：如图，在中，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接若设运动的时间为（），解答下列问题： 当为何值时，？ 设的面积为（），求与之间的函数关系式； 是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；AQCPB图AQCPB图 如图，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由八、最值问题 最值问题一般以下列前三道题为基本类型，每年均在此基础上，加以变形而成，近年来，相对的定点开始出现，需要特别注意，如第五题。例10、