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椭圆标准方程的推导及应用考点聚焦椭圆标准方程的推导及应用唐启伟课本上对椭圆标准方程的推导是依据定义:lPFlI+IPF2一2a,即v/(+f)0+Y+/(+c).+Y.一2a,经过两次平方推出椭圆的标准方程+寺一1(n>6>1),过程繁琐,计算量大.以下介绍三种比较简洁的推导方法,并对其推导方法在解题中的应用予以举例说明,供同学们在学习中参考.方法一,等差数列法由(z+f).+.+v/(zc).+一2a可知,/(zc)+Y,n,/(z+c)+Y.成等差数列,令其公差为d,则有/(z+c)+Y一0+d,l(zf).+一n.一.,得4cx=4ad,即一z.”把代入,得(z+c)+一n+z.将式两边平方,并设a一f=b2,即可推得椭圆标准方程为+一1(n>6>1).评注:此法不仅使推导过程简洁,而且从式易得椭圆的左焦半径公式lPFln+z,用同样的”方法不难得到右焦半径公式IPF2ln一z.方法二,三角代换法由J(x+c)2+.+v/(c)+.=2a,可设J(z+f)+一2acosd,l(x-c)+一2asin2口.一.,得4CZ4a(cosasin4口)4cx一4a(2cos口一1),即cza(2cos.a一1),故有2acosa一口+,代入式得”/(+f).+.一n+z,两边平方,并设n.一c一.2b,即可推得椭圆标准方程为+告一1(口>6>1).评注:三角代换法是中学数学中重要的思想方法,学习时应注意感悟和体会.方法三,分子有理化法由+呵=2a,将左式分子有理化得4cx一,即二一2a,下同方法二.评注:用分子有理化法化简根式,可以使复杂问题简单化,从而提高运算速度和解题效率.【例】解方程一4+5+v/+4x+55.解法1:/x2-4x+5,要,/x2+4x+5成等差数列,令其公差为d,则有I-4x+5一号一,:l一+.一,得一z.,把代入,并两边平方得36x一125,故一寺.经检验z一苦均为原方程的解.解法2:由一+5+55,可设J-z-4x+55cosa,I/z+4z+55sin2口.一,得8x=25(sin4a-cos口)8x一25(12cos2a).故有5cosZa5一4,代入式得u/x2-4x+5b一4-z.两边平方,得36x=125,故一.经检验z一5均为原方程的解.解法3:对方程式,/2+5+55将左式分子有理化,得8x/x.2.-.4.x.+.5-/x.2.+.4.x.+.5一5,即一+5一+4x+5一一半z.J一一【:A+,得/-4x+5一昔一,JC下同解法2即可得方程的解为一5.评注:上面三种解法是椭圆标准方程的不同推导方法的具体应用.所谓一题多解,其实就是要求我们要善于对问题进行观察和分析
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