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第一章 2映射 1集合 第一章 机动目录上页下页返回结束 集合与映射 3函数 元素a属于集合S 记作 元素a不属于集合S 记作 1集合 1 定义及表示法 定义1 1 1 具有某种特定性质的具体或抽象的对象 的总体称为集合 组成集合的对象称为元素 通常用大写字母如A B S T 表示集合 记作 机动目录上页下页返回结束 不含任何元素的集合称为空集 而用小写字母如a b x y 表示集合的元素 集合的表示方法 1 枚举法 按某种方式列出集合中的全体元素 例 正整数集合 自然数集 2 描述法 x所具有的特征P 例 整数集合 或 有理数集 p与q互质 实数集合 x为有理数或无理数 正实数集 特殊集合 机动目录上页下页返回结束 无限区间 点的 邻域 其中 a称为邻域中心 称为邻域半径 去心 邻域 左 邻域 右 邻域 开区间 半开区间 闭区间 数学分析中常用的实数集 则称A是B的子集 或称B包含A 2 集合之间的关系及运算 定义1 1 2 若 且 则称A与B相等 例如 显然有下列关系 若 设有集合 记作 记作 必有 机动目录上页下页返回结束 若A是B的一个子集 但存在一个元素x B但x A 则称A是B的一个真子集 定义1 1 3给定两个集合A B 并集 交集 且 差集 且 定义下列运算 补集 例如 有理数关于实数集的补集是无理数集 容易知道 集合补与差满足如下关系 机动目录上页下页返回结束 或 2 结合律 3 集合运算的性质 1 交换率 4 对偶律 DeMorgan公式 机动目录上页下页返回结束 3 分配率 4 有限集与无限集 若集合S由有限个元素组成 则称集合S为有限集 不是有限集的集合称为无限集 例如N Z Q R都是无限集 是有限集 如果无限集中的元素可以按某种规律排成一个序列 换句话说 这个集合可表示为 则称其为可列集 显然无限集并非一定是可列集 但容易证明 每个无限集必包含可列集 机动目录上页下页返回结束 证设S是一个无限集 先取a1 S 由于S是无限集 必存在a2 S a1 a2 再由S是无限集 必存在a3 S a3 a1 a3 a2 这个过程可以无限进行下去 于是 得到一个可列集为 机动目录上页下页返回结束 例1 1 2整数集是可列集 解 因为整数集可以按规律 0 1 1 2 2 n n 排成一列 因而是可列集 设 个集合An都是可列集 则它们的并集 是无穷可数个集合 其中每一 一定是可列集 即有下面的定理 定理1 1 1可列个可列集之并必是可列集 机动目录上页下页返回结束 证明见P7 证 由定理1 1 1 只需证明 0 1 中的有理数集是可列集即可 区间 0 1 中的有理数可唯一表示为既约分数q p 其中p N q N q p q p互质 我们按以下方式排列这些有理数 见P8 定理1 1 1可列个可列集之并必是可列集 机动目录上页下页返回结束 定理1 1 2有理数集Q是可列集 作业 p102 2 5 5 笛卡尔 Descartes 乘积集合 的集合称为集合A与集合B的Descartes乘积集合 设A与B是两个集合 在集合A中任取一个元素x 记为A B 即 特例 为平面上的全体点集 机动目录上页下页返回结束 在集合B中任取一个元素y 组成一个有序对 x y 把这样的有序对 x y 作为新的元素 它们全体组成 2 映射与函数 1 映射的概念 某校学生的集合 学号的集合 某班学生的集合 某教室座位的集合 机动目录上页下页返回结束 引例1 引例2 引例3 点集 点集 向y轴投影 机动目录上页下页返回结束 定义1 2 1 设X Y是两个非空集合 若存在一个对应规 则f 使得 有唯一确定的 与之对应 则 称f为从X到Y的映射 记作 元素y称为元素x在映射f下的像 记作 元素x称为元素y在映射f下的逆像 也称为原像 集合X称为映射f的定义域 记为Df X Y的子集 称为f的值域 记为Rf 注意 1 映射的三要素 定义域 对应规则 值域 2 元素x的像y是唯一的 但y的原像不一定唯一 对映射 若 则称f为满射 若 有 则称f为单射 若f既是满射又是单射 则称f为双射或一一映射 引例2 3 机动目录上页下页返回结束 引例2 引例2 例1 海伦公式 例2 如图所示 对应阴影部分的面积 则在数集 自身之间定义了一种映射 满射 例3 如图所示 则有 满射 满射 机动目录上页下页返回结束 X 数集或点集 说明 在不同数学分支中有不同的惯用 X Y 数集 机动目录上页下页返回结束 f称为X上的泛函 X X f称为X上的变换 R f称为定义在X上的为函数 映射又称为算子 名称 例如 2 逆映射与复合映射 1 逆映射的定义 定义1 2 2 若映射 为单射 则存在一新映射 使 习惯上 的逆映射记成 例如 映射 其逆映射为 其中 称此映射 为f的逆映射 机动目录上页下页返回结束 2 复合映射 机动目录上页下页返回结束 手电筒 X 引例 复合映射 定义1 2 3 则当 由上述映射链可定义由X到Y的复 设有映射链 记作 合映射 时 或 机动目录上页下页返回结束 注意 构成复合映射的条件 不可少 以上定义也可推广到多个映射的情形 下述两恒等映射 要注意 映射f和g的复合是由顺序的 这就是说 机动目录上页下页返回结束 特别地 若将f与它的逆映射f 1进行复合 则得到 讲也是不同的 f g有意义并不意味g f也一定有意义 即使都有意义 即Rg Df与Rf Dg都满足 复合映射f g与g f一般来 定义域 3函数 1 函数的概念 定义1 3 1 设数集 则称映射 为 定义在D上的函数 记为 f X 称函数的值域 函数图形 机动目录上页下页返回结束 自变量 因变量 对应规则 值域 定义域 例如 反正弦主值 定义域 对应规律的表示方法 解析法 图象法 列表法 使表达式及实际问题都有意义的自变量集合 定义域 值域 又如 绝对值函数 定义域 值域 机动目录上页下页返回结束 例4 已知函数 求 及 解 函数无定义 并写出定义域及值域 定义域 值域 机动目录上页下页返回结束 当两个函数不仅函数关系相同 而且定义域也相同 于是它们的值域也必然相同 它们表示相同的函数 例如 否则就表示不同的函数 至于此时自变量与因变量采 用什么符号 那倒是无关紧要的 因为定义域不同 机动目录上页下页返回结束 所以表示的函数也是不同的 而 与 表示同一个函数 在函数的解析表示法中 函数的分段表示 隐式表示 和参数表示在数学分析中是最常用的 函数的分段表示 设A B是两个互不相交的实数集合 机动目录上页下页返回结束 分别定义在集合A B上的函数 则 如例4 与 是定义在集合A B的函数 是 函数的隐式表示 是指通过方程F x y 0来确定变量y是x之间的函数关系的方式 如天体力学中著名的Kepler方程 函数的参数表示 在表示变量x与y的函数关系时 我们常常需要引入第三个变量 例如参数t 通过建立t与x t与y之间的函数关系 间接地确定x与y之间的函数关系 即 机动目录上页下页返回结束 例如 上半园的方程 摆线方程 2 函数的几种特性 设函数 且有区间 1 有界性 若存在两个常数m和M 使函数f x 满足 使 则称 其中 m是它的下界 M是它的上界 在I上有界 若函数f x 有界 即意味着f即有上界 又有下界 说某函数是否有界 一定要指明其所在的区间 当一个函数有界时 它的上下界不是唯一的 有 则称f x 为I上的有界函数 有界函数的另一种定义 注意 如函数f x 1 x在 1 上是有界函数 而在 0 1 上 却是无界函数 因此不能简单说f x 是有界函数 直线y M与y M为边界的带形区域之间 比较函数f x 在I上有界和无界的定义 不难发现两个 函数有界的几何意义是 f x 在区间I上图像位于两 都存在x0 I 使得 f x0 M 设f x 为定义在I上的函数 若对任意大的正数M 0 无界函数的定义 互为逆命题的定义 有如下的对偶叙述方法 机动目录上页下页返回结束 逆命题定义的主要差别在于 把存在 与任意 互换 把 x换成 x0 f x m 换成 f x0 M m 2 单调性 时 称 为I上的 称 为I上的 严格单调增函数 严格单调减函数 机动目录上页下页返回结束 单调增与单调减函数统称为单调函数 I称为单调区间 例如函数y x 与y sgn x 在R上都是单调增加函数 但不是严格的 显然 单调增 减 的函数必存在反函数 存在 f x 在I上既不是严格递增 也不是严格递减 即 机动目录上页下页返回结束 f x 在I上不是严格单调函数的对偶叙述是 同时又 例5函数f x x I为严格单调函数的充要条件是 对 有 1 于是 1 式成立 充分性 用反证法 若f x 在I上不是严格单调 则对 证 必要性 不妨设f x 在I上是严格单调增函数 有 有 即 同时存在 有 则在这a1 a2 a3 a4四点中总可以选出三点 记为 于是 故f x 在I上是严格单调函数 或 因而与 1 式矛盾 证毕 3 奇偶性 且有 若 则称f x 为偶函数 若 则称f x 为奇函数 说明 若 在x 0有定义 为奇函数时 则当 必有 例如 偶函数 双曲余弦 记 机动目录上页下页返回结束 又如 奇函数 双曲正弦 记 再如 奇函数 双曲正切 记 机动目录上页下页返回结束 如果点 x0 y0 在奇函数y f x 的图像上 即y0 f x0 则 的图像上 于是奇函数的图像关于原点对称 即 x0 y0 也在奇函数y f x 同理 可知偶函数的图像关于y轴对称 了解了奇偶性 我们只需在D 0 上讨论函数的性质 再由对称性推出它在D 0 上的性质 机动目录上页下页返回结束 例6判断函数 的奇偶性 例如 y x3 y sinx等都是奇函数 而y cosx y x 都是偶函数 4 周期性 且 则称 为周期函数 若 称l为周期 若存在满足上述条件 周期为 周期为 注 周期函数不一定存在最小正周期 例如 常量函数 狄里克雷函数 x为有理数 x为无理数 机动目录上页下页返回结束 最小的l 则称它为最小正周期或基本周期 证明如下 设r Q 且r 0 那么 x R 有 即有 机动目录上页下页返回结束 所以r为D x 周期 然而 正有理数没有最小数 所以狄利克雷函数是没有最小正周期的周期函数 同样f x C也是周期函数 且任何大于0的正实数都是它的周期 故它也不存在最小正周期 那么什么样的周期函数一定有最小正周期呢 一般地 有如下的定理 两个周期函数的和或积不一定是周期函数 与 机动目录上页下页返回结束 是周期函数 但F x f x g x 却不是周期函数 可用反证法证明如下 例如 定理 设f是异于常数的周期函数 且f连续 则f有最小正周期 假设F x 是以k k 0 为周期的周期函数 则 x R 有 即 令x k 2 得 0 cos e 2 sin ke 2 所以 sin ke 2 0 因而ke必是2 的整数倍 设ke 2m m N 在 式中再令x ke 2e 再得 Cos 2e sin k 2 0 所以sin k 2 0 因而k必是2 的整数倍 设k 2n n N 故e 2m 2n m n 这与e是无理数矛盾 例7设f为定义在R上以h为周期的函数 a为实数 证明 若f在 a a h 上有界 则f在R上有界 证 由条件f在 a a h 上有界 故 M 0 对于 x a a h 有 f x M 因为f以h为周期 所以 x R 满足 x R m Z 使得x mh x1 其中x1 a a h f x f mh x1 f x1 M 即f在R上有界 证毕 3 反函数与复合函数 1 反函数的概念及性质 若函数 为单射 则存在逆映射 习惯上 的反函数记成 称此映射 为f的反函数 机动目录上页下页返回结束 其反函数 减 减 1 y f x 单调递增 且也单调递增 性质 2 函数 与其反函数 的图形关于直线 对称 例如 对数函数 互为反函数 它们都单调递增 机动目录上页下页返回结束 指数函数 机动目录上页下页返回结束 例8若f是 a a 上的奇函数 并且有反函数f 1 则f 1 x 也是奇函数 证 因对任意x a a 有f f 1 x x 于是x f f 1 x f f 1 x 即对任意x a a 有f 1 x f 1 f f 1 x f 1 x 所以f 1是奇函数 机动目录上页下页返回结束 例9设f R R严增 f 1是其反函数 x1是f x x a的根 解 因f x1 x1 a f 1 f是恒等映射知 f 1 f x1 x1f x1 f 1 f x1 a x2是f 1 x x a的根 试求x1 x2的值 此即表明 f x1 是方程f 1 x x a的根 但由于f严增 可知f 1 x也严增 所以方程f 1 x x a有根必唯一 故f x1 x2 因而x1 x2 x1 f x1 a 例10若f 1是f的反函数 y f 1 x 是y f x 的反函数 解 令g x x 则y f 1 x 就是f 1与g x 的复合函数 即f 1 x f 1 g x f 1 g x 试证f x 是奇函数 同理 f x f g x f g x 按题设条件 f 1 g与f g互为反函数 因此f g f 1 g 1 g 1 f 即对任意x a a 有f x f g x g 1 f x g 1 f x f x 所以f是奇函数 2 复合函数 则 设有函数链 称为由 确定的复合函数 机动目录上页下页返回结束 复合映射的特例 u称为中间变量 注意 构成复合函数的条件 不可少 例如 函数链 函数 但函数链 不能构成复合函数 可定义复合 机动目录上页下页返回结束 两个以上函数也可构成复合函数 例如 可定义复合函数 4 初等函数 1 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 2 初等函数 由常数及基本初等函数 否则称为非初等函数 又如 并可用一个式子表示的函数 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 称为初等函数 可表为 故为初等函数 例如 双曲函数与反双曲函数是初等函数 例11 设f和g都是D上的初等函数 定义 1 试问M x 和m x 是否都为初等函数 而 是初等函数 提示 1 2 若f和g是增函数 证明M x 和m x 也是增函数 2 设x1 x2 D x1 x2 则f x1 f x2 g x1 g x2 同理可证M x 的单调性 于是m x1 m x2 非初等函数举例 符号函数 当x 0 当x 0 当x 0 取整函数 当 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 集合及映射的概念 定义域对应规律 3 函数的特性 有界性 单调性 奇偶性 周期性 4 初等函数的结构 作业P237 2 8 11 12 13 2 函数的定义及函数的二要素 第二节目录上页下页返回结束 1 设f g和h都为D上的增函数 且满足 证明 又因 对 提示 课堂思考与练习 且f为增函数 所以 取 即有 于是就证得 同理可证 2 求 的反函数及其定义域 解 当 时 则 当 时 则 当 时 则 反函数 定义域为 机动目录上页下页返回结束 且 证明 证 令 则 由 消去 得 时 其中 a b c为常数 且 为奇函数 为奇函数 3 设 4 证明定义在对称区间 a a a 0 上的任意函数f 都可以表示成奇函数与偶函数之和的形式 分析 假设f可以表示成奇函数与偶函数之和的形式 根据条件把这两个函数 找出来 故 可以表示成奇函数与偶函数之和的形式 令 机动目录上页下页返回结束 其中 于是 1 2 联立式 1 与 2 解得 在上述证明中 F x 和G x 这两个函数是通过分析找 出来的 而不是在证明时直接 拿 出来的 这种构造性的证明思路在数学分析中是常见的 它是解决初学者 为什么你能想得到 而我却想不到 的这种疑问的很好的解题方法 若 证明留给大家做练习 机动目录上页下页返回结束 上题的结论可用来判断一类函数的奇偶性 其原理为设f可表成奇 偶函数之和的形式f x F x G x 然后再用题目给定的条件证明其中的F x 0或G x 0 例对 x y R f x y f x f y 证明f x 为R上的奇函数 则f x 是偶函数 5 设函数f为 a a a 0 上的奇 偶 函数 证明 若f在 0 a 上单增 则f在 a 0 上单增 减 解 任取x1 x2 a 0 x1 x2 则 x1 x2 0 a 机动目录上页下页返回结束 因为f是奇函数 故 且 x1 x2 于是 这就说明f在 a 0 上单调增加 证毕 6 若函数 在 0 上单调增加 则f x1 f x2 f x1 x2 解 类似可求证 机动目录上页下页返回结束 设 由题设知g x 在 0 上单调增加 于是对 x1 x2 0 且x1 x2 则有 若函数 单调减少 则f x1 f x2 f x1 x2 练习 已知x y R f xy f x f y 当x 1时 f x 0 证明f在R 上是增函数 7 设函数 的图形与 均对称 求证 是周期函数 证 由 的对称性知 于是 故 是周期函数 周期为 机动目录上页下页返回结束 8 求函数 的周期 解 5 4的周期为任意大于零的实数 cos2x的周期为 Cos4x的周期为 2 它们的最小公倍数为 故f x 的周期为 类似可求 函数的周期 机动目录上页下页返回结束 数学分析中的几个重要不等式
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