《高斯公式》PPT课件.ppt

第六节高斯公式 一 高斯公式二 简单的应用三 物理意义 通量与散度四 小结思考题 一 高斯公式 格林公式 描述了在闭曲线L上的曲线积分与L所围闭区域D上的二重积分之间的关系 在空间闭曲面 上 可以作曲面积分 在 所围空间闭区域 上 可以做三重积分 因此在 上的曲面积分与在 上的三重积分必存在某种联系 设 是由分片光滑的有向闭曲面 所围空间闭区域 并假设 1 用平行于z轴的直线穿越 的内部时 与 的边界曲面 交点恰好为两点 2 取外侧 的形状如图所示 取下侧 取上侧 母线平行于z轴的柱面 取外侧 又设R x y z 在 上具有一阶连续偏导数 在xoy面上的投影区域为 假设 1 用平行于z轴的直线穿越 的内部时 与 的边界曲面 交点恰好为两点 2 取外侧 3 R x y z 在 上具有一阶连续偏导数 同理 若用平行于x轴和y轴的直线穿越 的内部时 与 的边界曲面 交点恰好为两点 P x y z Q x y z 在 上具有一阶连续偏导数 结论 假设条件 1 用平行于z轴的直线穿越 的内部时 与 的边界曲面 交点恰好为两点 2 取外侧 3 R x y z 在 上具有一阶连续偏导数 结论 说明1 若 不满足条件 1 则可类似于格林公式的情形进行处理 2 三式合并即为 P Q R在 上具有一阶连续偏导数 则 定理1 设 是由分片光滑的有向闭曲面 所围空间闭区域 其中 是 的整个边界曲面 取外侧 是与 的侧向一致的法向量 的方向余弦 记 则由两类曲面积分之间的关系 高斯公式又可写成 高斯公式是计算第二类曲面积分的有效工具之一 例1 计算 取外侧 解 分析 被积函数都是二次的 求偏导后变为一次 则 例1 计算 取外侧 解 分析 被积函数都是二次的 求偏导后变为一次 由对称性知 例2 计算 其中 为锥面 介于平面z 0及z h h 0 之间部分的下侧 是与 的侧向一致的法向量的方向余弦 解 应用高斯公式时一定要注意条件 1 是分片光滑闭曲面 2 P Q R在 上具有一阶连续偏导数 补充 上侧 在 可以应用高斯公式 例2 计算 其中 为锥面 介于平面z 0及z h h 0 之间部分的下侧 是与 的侧向一致的法向量的方向余弦 解 例2 计算 其中 为锥面 介于平面z 0及z h h 0 之间部分的下侧 是与 的侧向一致的法向量的方向余弦 解 例2 计算 其中 为锥面 介于平面z 0及z h h 0 之间部分的下侧 是与 的侧向一致的法向量的方向余弦 解 本题所用方法俗称 封口法 例3 计算 其中 取上侧 解 补充 下侧 例3 计算 其中 取上侧 解 例4 计算 其中 取外侧 解 分析 经计算可得 故可考虑用高斯公式 问题 P Q R在 内不连续 以原点为中心作一小球 取内侧 在 所围空间区域 上 满足高斯公式的条件 例4 计算 其中 取外侧 解 分析 经计算可得 例4 计算 其中 取外侧 解 对于 在 所围的球上应用高斯公式 二 物理意义 通量与散度 1 通量的定义 沿场中某一有向曲面 的第二类曲面积分 称为该向量场通过曲面 向着指定侧的通量 或流量 设有向量场 是与 的侧向一致的法向量 的方向余弦 所以 2 散度的定义 设有向量场 称 为该向量场的散度 记作 即 高斯公式 这里 取外侧 或 其中 第十章第六节作业 习题10 6 2 3 4 8 1 9 四 小结 3 应用的条件 4